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翻译题解

首先给出结论 把一段看做一堆石子 可以做到跟nim游戏等价

具体 我们需要归纳证明一个结论

当前current_multiplier为 $c$ ，石子总数为 $n$ ，若异或和为 $0$ 那么后手将以至少 ${n\over 2}c$ 的净得分获胜

• 当游戏只剩最后两步的时候，两堆石子分别是$n\over 2$，那么后手会赢 ${n\over 2}c\times 2-{n\over 2}c={n\over 2}c$
• 否则我们设先手拿掉之后还剩 $y$ 个石子，后手接着拿 $x$ 个石子，并保持异或和仍为 $0$ ，那么之后根据归纳的结论，之后会赢 ${y-x\over 2}c\times 4$，这两步先手得$(n-y)c$，后手得$xc\times 2$分，那么总共后手得 $3yc-nc$ ，跟 $x$ 无关了，那么先手肯定会拿最多，让 $y$ 小，因为异或和为 $0$ ，那么最多一堆是${n\over 2}$，也就是说，后手至少会赢 ${n\over 2}c$，得证

还缺关键的一步，后手是不是一定存在决策，使得异或和仍然不变

考虑nim游戏，先手从一堆中拿去了一些，后手必然从另一堆拿，因为后手再从这堆拿不可能满足 那么如果先手把一堆 $a$ 分裂 $b+c < a$，那么可以相当于拿走了 $a-b\ \text{xor}\ c$个石子 因为 $b\ \text{xor}\ c\le b+c \le a$，仿照nim从别的堆拿掉就好了

然后只要枚举第一次的操作就好了
还有一个特判 如果把唯一的一整堆都拿了，那么还是不能胜的

// BEGIN CUT HERE  
#include<conio.h>
#include<sstream>
// END CUT HERE  
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<set>
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
using namespace std;
typedef long long ll;const int N=55;int len,n,a[N];class TheXGame{
public:int firstMove(string B){len=B.length(); n=0;for (int i=0,j;i<len;)if (B[i]=='-'){j=i; while (j+1<len && B[j+1]=='-') j++;a[++n]=j-i+1; i=j+1;}elsei++;int sum=0;for (int i=1;i<=n;i++) sum^=a[i];int ans=1<<30;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=0;j<=a[i];j++)for (int k=0;k<=a[i];k++)if (!(n==1 && j==0 && k==0))if (j+k<a[i] && (sum^a[i]^j^k)==0)ans=min(ans,a[i]-j-k);return ans==1<<30?-1:ans;}// BEGIN CUT HERE
public:void run_test(int Case) { if ((Case == -1) || (Case == 0)) test_case_0(); if ((Case == -1) || (Case == 1)) test_case_1(); if ((Case == -1) || (Case == 2)) test_case_2(); if ((Case == -1) || (Case == 3)) test_case_3(); }
private:template <typename T> string print_array(const vector<T> &V) { ostringstream os; os << "{ "; for (typename vector<T>::const_iterator iter = V.begin(); iter != V.end(); ++iter) os << '\"' << *iter << "\","; os << " }"; return os.str(); }void verify_case(int Case, const int &Expected, const int &Received) { cerr << "Test Case #" << Case << "..."; if (Expected == Received) cerr << "PASSED" << endl; else { cerr << "FAILED" << endl; cerr << "\tExpected: \"" << Expected << '\"' << endl; cerr << "\tReceived: \"" << Received << '\"' << endl; } }void test_case_0() { string Arg0 = "X---X-X-"; int Arg1 = 1; verify_case(0, Arg1, firstMove(Arg0)); }void test_case_1() { string Arg0 = "----"; int Arg1 = 2; verify_case(1, Arg1, firstMove(Arg0)); }void test_case_2() { string Arg0 = "--XXX" ; int Arg1 = -1; verify_case(2, Arg1, firstMove(Arg0)); }void test_case_3() { string Arg0 = "--------X-----X----X"; int Arg1 = 3; verify_case(3, Arg1, firstMove(Arg0)); }// END CUT HERE};// BEGIN CUT HERE
int main(){TheXGame ___test;___test.run_test(-1);getch() ;return 0;
}
// END CUT HERE