01背包问题

有 NN 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int f[N];
int w[N], v[N];int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);//物品个数n，背包容积mfor(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);//物品体积，物品价值for(int i = 1; i <= n; i ++)//从前往后遍历物品个数for(int j = m; j >= v[i]; j --)//从后往前遍历物品体积f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);//计算价值printf("%d", f[m]);//输出固定背包容量下最大的价值return 0;
}

特点：每种物品只有一个，只有放和不放两种情况

做法：第一层循环从前往后遍历物品，第二层循环从后往前遍历体积

完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010;int n, m;//物品种数n，背包容积m
int v[N], w[N];//物品体积v，物品价值w
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);//物品体积v，物品价值wfor (int i = 1; i <= n; i ++ )//从前往后遍历物品种类for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )//从前往后遍历物品体积f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);//计算价值printf("%d", f[m]);//输出固定背包容量下的最大价值return 0;
}

特点：每种物品有无限个

做法：第一层循环从前往后遍历物品，第二层循环从前往后遍历体积

多重背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 110;int n, m;//物品种数n，背包容量m
int v[N], w[N], s[N];//物品体积v，物品价值w，物品数量s
int f[N][N];int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);//物品种数n，背包容量mfor (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &s[i]);//物品体积v，物品价值w，物品数量sfor (int i = 1; i <= n; i ++ )//遍历物品种类for (int j = 0; j <= m; j ++ )//遍历背包容量for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ )//遍历物品数量f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

特点：物品有一定的个数，介于01背包和完全背包之间

做法：第一层循环从前往后遍历物品种类，第二层循环从前往后遍历背包容量，第三层循环从前往后遍历物品数量

多重背包问题II

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 12010, M = 2010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];int main()
{cin >> n >> m;int cnt = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){int a, b, s;cin >> a >> b >> s;int k = 1;while (k <= s){cnt ++ ;v[cnt] = a * k;w[cnt] = b * k;s -= k;k *= 2;}if (s > 0){cnt ++ ;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}n = cnt;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = m; j >= v[i]; j -- )f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[m] << endl;return 0;
}

分组背包问题

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 110;int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> s[i];for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )cin >> v[i][j] >> w[i][j];}for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = m; j >= 0; j -- )for (int k = 0; k < s[i]; k ++ )if (v[i][k] <= j)f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);cout << f[m] << endl;return 0;
}