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前言：为什么需要做时频分析

• 脑电信号为非平稳信号，不能直接使用傅里叶变换进行操作
• 时频分析将连续数据划分为一个个小片再做傅里叶变换
• 谱分析不能反映各个频段能量随时间的变化

1、时频分析的原理——卷积（Convolution）

上次提到的谱分析的原理是将需要处理的信号跟kernel函数进行点积处理，这样就能得到谱分析的结果，但是时频分析的是卷积
其实和点积有相同的原理，只不过时频分析需要得到随时间变化的信息，所以需要这个kernel函数随着时间，不断的往前推进， 都做一个点积，这个流程就是一个卷积，但是因为是随着时间往前推进，在两端的地方难免存在一些信息的泄露，因此我们需要进行一些信息补充，称之为padding，用0补充，不影响原始结果，信息也不会泄露太多。

2、短时傅里叶变换（STFT）

短时傅里叶变换又称为窗口傅里叶变换，是傅里叶变换简单的一个扩展，主要就是解决在谱分析中傅里叶的两个局限性，用于处理非平稳信号和随时间变换的power值的变化

短时傅里叶变换的原理是认为我们框选的一小部分信号（图中黄色虚线部分）是属于平稳信号，我们对这个框内的信号做傅里叶变换，得到不同频率下的power值变化，然后将它转换成在时域上显示

这个有个问题，我们在原始信号处是得到一个时间窗的函数，最后我们得到的结果是一个时间点的数据，因为我们最后得到的一个时间点数据是根据附近的一些数据转换处理得到的，对应于时间窗中点的那个时间点，就是最后得到的结果，我们最后得到的时间点的power值，并不是真正的时间点上的power值，因为真正的单个时间点的值我们是得不到的，我们都是通过这个时间点临近的时间数据得出来的

（STFT）短时傅里叶变换的缺点

这个变换的窗口是没有自适应性的，只适合分析所有特征尺度大致相同的信号，不适合分析多尺度信号和突变信号

时间段的长度在时间和频率分辨率之间提供了权衡：在较段的时间段以牺牲频率分辨率为代价提供更好的时间分辨率，而较长的时间段以牺牲时间分辨率为代价提供更好的频率分辨率

测不准原理（The Uncertainty Principle）

不能同时拥有任意好的时间和频率分辨率，如果想要更清晰的时间分辨率，将牺牲频率分辨率，反之亦然。

一般情况我们选择一个折中，两者都能保持在一个平衡的状态下

这里用一个实例讲诉一下：

我们将原始信号提取出来，得到i一个能量主要集中在60hz的频段，那么我用不同长度的时间窗口进行提取，看一下不同长度时间窗口下的一个频率power值变化情况

最左边的是短的最小的窗口，最右边是一个最长的窗口

我们可以看到在第一个的时候，红色最深的部分是在1s左右的附近，很明显，这个时候时间分辨率比较高，在时间上面体现的比较明显，随着窗口的长度的加大，表示频率的信息被压缩，越来越接近真正的频率范围处，最后得到了在60hz附近的一个信息显示，这个时候时间上就会变得比较模糊

滑动时间窗

• 时间窗口的长度固定，与频率无关——短时傅里叶变换
• 时间窗口的长度随着频率的增加而减小（频率越高，时间窗的长度越短）
  

3、小波变换（wavelet Analysis）

小波变换是近三十年来才发展起来的一种数学工具，是继一百多年前傅里叶分析之后的又一个重大突破

对应各个频段适应的时间分辨率（随频率变化的窗口长度）

• 低频对应长的窗口
• 高频对应短的窗口
  
  小波母函数不单单是指一种函数，而是可以是符合条件的多种函数的一个集合，组成小波族
  
  我们比较多的应用的是Morlet函数

Morlet小波变换的实现过程

（1）先得到Morlet小波基：给出某个频率段范围的一个sin函数
（2）然后使用高斯窗函数跟上面的函数进行相乘
（3）最后我们得到的就是Morlet小波基
（4）然后们将得到的函数和需要处理的信号进行卷积处理，就可以得到Morlet小波变换

高斯窗函数的n是代表高斯函数的宽度的，而且小波基的函数也和高斯窗函数呈现正比关系，所以我们可以通过修改高斯窗函数的n修改小波基的宽度

小波宽度（周期）决定时频分辨率，“长”小波导致频率分辨率相对较窄，但是时间分辨率较差
“短”小波导致更宽的频率分辨率，但是更精确的时间分辨率

小波变换也可以作为一种带通滤波的手段

三者比较（傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波变换）

我们原似乎得到的信号是一个时域的信号，得到的只有一个随时间变化的power信息，分别使用三种变换进行处理

1. 首先进行傅里叶变换，这个变换不需要用到窗口函数，最后得到的是各个频段上面的信息，没有了随时间变化的信息
2. 第二个是使用了短时傅里叶变换，设定一个固定的窗口，就可以得到一个具有固定时间分辨率和频率分辨率的一个结果
3. 通过使用小波变换，根据不同的频率可以使用不同长度的时间窗口函数，最后得到的结果是在高频的时候我能够获得一个好的时间分辨率，在低频的时候我能很好的获得一个频率分辨率
   

总结

一、傅里叶变换

适用于平稳信号
没有反映出随时间变化的信号频率成分的变化情况

二、短时傅里叶变换

窗口是固定的，无法满足非稳态信号变化的频率的需求

三、小波变换

随频率改变的"时间-频率"窗口
适合于分析非稳态信号和提取信号的局部特征
对信号具有自适应性

参考来源：
https://www.bilibili.com/video/BV1M5411W72B