一、二维随机向量及其分布

• 随机向量：$X(e)$与$Y(e)$是样本空间$\Omega$上的两个随机变量，则$(X(e),Y(e))$称为$\Omega$上的随机向量，简记$(X,Y)$。
• 联合分布函数：F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}.F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}.F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}.几何表示为：
  
• 分布函数$F(x,y)$基本性质：$$\begin{gathered} 1^{。}F(x,y)是变量x,y的不减函数，对于任意固定y， \\ 当x_1<x_2时，有F(x_1,y)\le F(x_2,y);固定x时同理; \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} 2^{。}0\le F(x,y)\le 1,对于固定的y，有F(-\infty ,y)=0; \\ 对于固定的x，有F(x,-\infty )=0;F(-\infty ,+\infty )=0, \\ F(+\infty ,+\infty )=1.(可通过几何图形理解) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} 3^{。}F(x,y)关于x和y是右连续的，即 \\ F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0). \end{gathered}$$
• 二维离散型随机变量：

1. 分布律：P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,3,…P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,3,\ldotsP{X=xi​,Y=yj​}=pij​,i,j=1,2,3,…（也可用图表表示）
2. 分布函数：F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∑xi≤x∑yj≤ypij.F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}=\sum\limits_{x_i\le x}\sum\limits_{y_j\le y}p_{ij}.F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=xi​≤x∑​yj​≤y∑​pij​.

• 二维连续型随机变量：

1. 分布函数：F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv.F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)dudv.F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫−∞x​∫−∞y​f(u,v)dudv.其中$f(x,y)$是$(X,Y)$联合概率密度或概率密度。
2. 部分性质：$$1^{。}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1;$$ $$\begin{gathered} 2^{。}若f(x,y)在(x,y)处连续，则有 \\ \frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y). \end{gathered}$$ 3。设G为xOy面上的一区域，随机点(X,Y)落入G中的概率为P{(X,Y)∈G}=∬Gf(x,y)dxdy.3^。设G为xOy面上的一区域，随机点(X,Y)落入G中的概率为\\ P\{(X,Y)\in G\}=\iint\limits_Gf(x,y)dxdy.3。设G为xOy面上的一区域，随机点(X,Y)落入G中的概率为P{(X,Y)∈G}=G∬​f(x,y)dxdy.

• 均匀分布：密度函数为$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& \text{(x,y)∈G}\\ & \\ 0,& \text{其他}\end{array}$$其中$A$为区域$G$的面积，则$(X,Y)$服从均匀分布。
• 二维正态分布：密度函数为f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2exp{−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ12−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22]},−∞<x<+∞,−∞<y<+∞f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}exp\{{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma^2_1}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma^2_2}]}\},\\ -\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\inftyf(x,y)=2πσ1​σ2​1−ρ2​1​exp{−2(1−ρ2)1​[σ12​(x−μ1​)2​−σ1​σ2​2ρ(x−μ1​)(y−μ2​)​+σ22​(y−μ2​)2​]},−∞<x<+∞,−∞<y<+∞其中${\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,-1<\rho <1$,则称$(X,Y)$为二维正态随机变量，记作$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$。
• 对于不同的$\rho$有不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却是一样的。

二、边缘分布

• 边缘分布函数：FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)FY(y)=P{Y≤y}=P{X<+∞,Y≤y}=F(+∞,y)F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<+\infty\}=F(x,+\infty)\\ F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X<+\infty,Y\le y\}=F(+\infty,y)FX​(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)FY​(y)=P{Y≤y}=P{X<+∞,Y≤y}=F(+∞,y)其中$F(x,y)$为$(X,Y)$的联合分布函数。
• 二维离散型随机变量的边缘分布：

1. 边缘分布函数：$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,+\infty )=\sum _{x_i\le x}\sum _j{p}_{ij} \\ {F}_Y(y)=F(+\infty ,y)=\sum _i\sum _{y_j\le y}{p}_{ij} \end{gathered}$$
2. 边缘分布律：P{X=xi}=∑jpij,i=1,2,3,…P{Y=yj}=∑ipij,j=1,2,3,…P\{X=x_i\}=\sum\limits_jp_{ij},i=1,2,3,\ldots\\ P\{Y=y_j\}=\sum\limits_ip_{ij},j=1,2,3,\ldotsP{X=xi​}=j∑​pij​,i=1,2,3,…P{Y=yj​}=i∑​pij​,j=1,2,3,…

• 二维连续型随机变量的边缘分布：

1. 边缘分布函数：$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy]dx \\ {F}_Y(y)=F(+\infty ,y)={\int }_{-\infty }^y[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx]dy \end{gathered}$$
2. 边缘密度函数（边缘分布密度）：$$\begin{gathered} f_X(x)=\frac{d{F}_X(x)}{dx}={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy \\ {f}_Y(y)=\frac{d{F}_Y(y)}{dy}={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx. \end{gathered}$$

三、条件分布

• 二维离散型随机变量的条件分布律：P{X=xi∣Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj},i=1,2,3,…P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},i=1,2,3,\ldotsP{X=xi​∣Y=yj​}=P{Y=yj​}P{X=xi​,Y=yj​}​,i=1,2,3,…其中$j$固定，且P{Y=yj}>0P\{Y=y_j\}>0P{Y=yj​}>0。同理有P{Y=yj∣X=xi}=P{X=xi,Y=yj}P{X=xi},j=1,2,3,…P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},j=1,2,3,\ldotsP{Y=yj​∣X=xi​}=P{X=xi​}P{X=xi​,Y=yj​}​,j=1,2,3,…
• 二维连续型随机变量的条件分布：

1. 条件分布函数：设对于任意固定的$\epsilon >0$，有P{y−ε<Y≤y+ε}>0P\{y-\varepsilon<Y\le y+\varepsilon\}>0P{y−ε<Y≤y+ε}>0，若极限lim⁡ε→0+P{X≤x∣y−ε<Y≤y+ε}=lim⁡ε→0+P{X≤x,y−ε<Y≤y+ε}P{y−ε<Y≤y+ε}\lim\limits_{\varepsilon\to0^+}P\{X\le x|y-\varepsilon<Y\le y+\varepsilon\}=\lim\limits_{\varepsilon\to0^+}\frac{P\{X\le x,y-\varepsilon<Y\le y+\varepsilon\}}{P\{y-\varepsilon<Y\le y+\varepsilon\}}ε→0+lim​P{X≤x∣y−ε<Y≤y+ε}=ε→0+lim​P{y−ε<Y≤y+ε}P{X≤x,y−ε<Y≤y+ε}​存在，则该极限称为在$Y=y$的条件下$X$的条件分布函数，记作P{X≤x∣Y=y}P\{X\le x|Y=y\}P{X≤x∣Y=y}或$F_{X|Y}(x|y)$。条件分布函数也可表示为$$F_{X|Y}(x|y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$$其中$f_Y(y)$为$Y$的边缘密度函数。同理有$$F_{Y|X}(y|x)={\int }_{-\infty }^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv.$$
2. 条件分布密度：$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},f_{Y|X}(y|x)\frac{f(x,y)}{f_X(x)}.$$

四、随机变量的独立性

• 对任意$x,y$有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}则称$X,Y$是相互独立的。
• 二维离散性随机变量：$X,Y$是相互独立的，则分布律为P{X≤xi,Y≤yj}=P{X≤xi}P{Y≤yj},i,j=1,2,3,…P\{X\le x_i,Y\le y_j\}=P\{X\le x_i\}P\{Y\le y_j\},i,j=1,2,3,\ldotsP{X≤xi​,Y≤yj​}=P{X≤xi​}P{Y≤yj​},i,j=1,2,3,…
• 二维连续型随机变量：$X,Y$是相互独立的，则所有$x,y$都是相互独立的，概率密度为$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y).$$

五、两个随机变量函数的分布

• 二维离散型随机变量函数的分布：根据两个随机变量的联合分布律可直接得出。
• 二维连续型随机变量函数的分布：

1. 求密度函数的一般方法：
   (1) 首先求出$Z=\phi (X,Y)$的分布函数FZ(z)=P{Z≤z}=P{φ(X,Y)≤z}=P{(X,Y)∈G}=∬Gf(u,v)dudvF_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{\varphi(X,Y)\le z\}\\ =P\{(X,Y)\in G\}=\iint\limits_Gf(u,v) dudvFZ​(z)=P{Z≤z}=P{φ(X,Y)≤z}=P{(X,Y)∈G}=G∬​f(u,v)dudv其中$f(x,y)$是$(X,Y)$的密度函数，G={(x,y)∣φ(x,y)≤z}G=\{(x,y)|\varphi(x,y)\le z\}G={(x,y)∣φ(x,y)≤z}。
   (2) 其次利用分布函数和密度函数的关系，对分布函数求导，求出密度函数$f_Z(z)$。
2. $Z=X+Y$的分布：区域G={(x,y)∣x+y≤z}G=\{(x,y)|x+y\le z\}G={(x,y)∣x+y≤z}，则分布函数为$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{z-y}f(x,y)dx]dy$$固定$z,y$，令$x=u-y$，则有$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{z}f(u-y,y)du]dy={\int }_{-\infty }^z[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u-y,y)dy]du$$根据分布函数和密度函数的关系，得到密度函数$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy$$由于$X,Y$的对称性，可得$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx$$若$X,Y$相互独立，则有$$\begin{gathered} f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy \\ {f}_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx \end{gathered}$$上面两个公式记为卷积，记作$f_X\ast f_Y$，即$$f_X\ast f_Y={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$$
3. $Z=\frac{X}{Y}$的分布：区域G={(x,y)∣xy≤z}G=\{(x,y)|\frac{x}{y}\le z\}G={(x,y)∣yx​≤z}，则分布函数为$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{zy}f(x,y)dx]dy$$令$u=y,v=x/y$，即$x=uv,y=u$，雅可比式$$J=\left|\begin{array}{cc}v& u\\ & \\ 1& 0\end{array}\right|=-u$$则有$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }du{\int }_{-\infty }^{z}f(uv,u)|J|dv={\int }_{-\infty }^z[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(uv,u)|u|du]dv$$根据分布函数和密度函数的关系，得到密度函数$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(zu,u)|u|du$$若$X,Y$相互独立，则有$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(zu)f_Y(u)|u|du$$

• M=max{X,Y},N=min{X,Y}M=max\{X,Y\},N=min\{X,Y\}M=max{X,Y},N=min{X,Y}的分布：设$X,Y$相互独立，$M,N$的分布函数分别为$F_M(z),F_N(z)$。由于$M\le z$相当于$X,Y\le z$，又$X,Y$相互独立，故有FM(z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z).F_M(z)=P\{M\le z\}=P\{X\le z,Y\le z\}\\ =P\{X\le z\}P\{Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z).FM​(z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=FX​(z)FY​(z).同理有FN(z)=P{N≤z}=1−P{N>z}=1−P{X>z,Y>z}=1−P{X>z}P{Y>z}=1−[1−FX(z)][1−FY(z)].F_N(z)=P\{N\le z\}=1-P\{N>z\}=1-P\{X>z,Y>z\}\\ =1-P\{X>z\}P\{Y>z\}=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].FN​(z)=P{N≤z}=1−P{N>z}=1−P{X>z,Y>z}=1−P{X>z}P{Y>z}=1−[1−FX​(z)][1−FY​(z)].推广到$n$个，即M=max{X1,X2,…Xn},N=min{X1,X2,…Xn}M=max\{X_1,X_2,\dots X_n\},N=min\{X_1,X_2,\dots X_n\}M=max{X1​,X2​,…Xn​},N=min{X1​,X2​,…Xn​}，$X_1,X_2,\dots X_n$相互独立且有相同的分布函数$F(x)$，则有$$\begin{gathered} F_M(z)=[F(z){]}^n \\ {F}_N(z)=1-[1-F(z){]}^n. \end{gathered}$$