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文章目录

序列相关性
- 序列相关性的含义
- 序列相关性的产生原因
- 序列相关性的后果
- 序列相关性的检验方法
- 序列相关性的修正措施
- - 广义最小二乘法 GLS
  - 广义差分法 GD
  - 可行的广义最小二乘法 FGLS
  - 杜宾两步法
  - 科克伦-奥科特迭代法

序列相关性

序列相关性的含义

对于截面数据类型，如果样本是独立随机抽取的（多元回归模型基本假设 MLR.2），则从理论上保证了模型的随机干扰项相互独立，不存在序列相关。如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，则称为存在序列相关问题。

由于时间序列数据不可重复观测，因此以时间序列数据为样本，一般会破坏随机抽样的假定。根据实证分析的一般经验，时间序列数据也会同时伴随着异方差问题，即违背了基本假定 MLR.5 。
$Var(u)=E(uu′)=[σ2σ12...σ1Tσ21σ2...σ2T⋮⋮⋱⋮σT1σT2...σ2]=σ2[1ρ12...ρ1Tρ211...ρ2T⋮⋮⋱⋮ρT1ρT2...1]=σ2Ω{\rm Var}(\boldsymbol{u})={\rm E}(\boldsymbol{uu'})=\left[ \begin{array}{cccc} \sigma^2 & \sigma_{12} & ... & \sigma_{1T} \\ \sigma_{21} & \sigma^2 & ... & \sigma_{2T} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma_{T1} & \sigma_{T2} & ...& \sigma^2 \\ \end{array} \right] = \sigma^2 \left[ \begin{array}{cccc} 1 & \rho_{12} & ... & \rho_{1T} \\ \rho_{21} & 1 & ... & \rho_{2T} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \rho_{T1} & \rho_{T2} & ...& 1 \\ \end{array} \right] = \sigma^2\boldsymbol\Omega$

序列相关性的产生原因

(1) 经济变量固有的惯性；

(2) 数据“编造”造成的相关；

(3) 模型设定偏误；

(4) 蛛网现象（农产品的供给）；

(5) 变量之间的影响本身具有滞后效应。

序列相关性的后果

序列相关性和异方差均是模型出现了非球形扰动的现象，它们对 OLS 的影响也具有相似性。因为在序列相关性下的模型仍然满足零条件均值，如果再满足解释变量是严格外生条件时，OLS 估计值是无偏和一致的。这里的严格外生条件指的是： $t$ 时期的误差项 $u_t$ 与每个时期的任何解释变量都无关。这个条件比 MLR.4 的零条件均值要求更强。

和异方差类似，序列相关性下的 OLS 估计量不再是 BLUE，主要影响包括以下几点：

参数估计量非有效；
$t$ 值被高估，相应的 $F$ 检验与可决系数检验也变得不可靠；
模型的预测失效。

序列相关性的检验方法

图示法

由于随机干扰项不可直接观测，可以用 OLS 残差 $e_t$ 代替 $u_t$ 。一般情况下我们可以绘制 $e_t$ - $e_{t-1}$ 散点图或绘制 $e_t$ - $t$ 散点图来判断序列相关性的趋势。

回归检验法

以 $e_t$ 为被解释变量，以各种可能的 $e_t$ 的相关量，如 $e_{t-1}$ ， $e_{t-2}$ 等为解释变量建立回归方程：
$et=ρet−1+εt,e_t = \rho e_{t-1} + \varepsilon_t \ ,$

$et=ρ1et−1+ρ2et−2+εt,e_t = \rho_1 e_{t-1} + \rho_2e_{t-2} + \varepsilon_t \ ,$

如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。回归检验法的优点是一旦确定了模型存在序列相关性，即可得到其相关的形式，适用于任何类型的序列相关问题的检验。

$DW{\rm DW}$ 检验法

$DW{\rm DW}$ 检验是 Durbin 和 Watson 提出的一种适用于小样本的检验方法。 $DW{\rm DW}$ 检验只能用于检验随机误差项具有一阶自回归形式的自相关问题。这种检验方法是建立经济计量模型中最常用的方法，一般的计算机软件都可以计算出 $DW{\rm DW}$ 值。

首先需要注意 $DW{\rm DW}$ 检验的前提假定条件：

解释变量非随机；
随机误差项为 $AR(1){\rm AR}(1)$ 形式： $ut=ρut−1+εtu_t=\rho u_{t-1}+\varepsilon_t$ ；
模型含有截距项且不含有滞后被解释变量，如 $Y_{t-1}$ 。

满足以上条件，我们可以对随机干扰项进行 $DW{\rm DW}$ 检验，首先提出原假设 $H0:ρ=0H_0:\rho=0$ ，即 $u_t$ 不存在一阶自回归。为了检验上述假设，构造 $DW{\rm DW}$ 统计量首先要求出回归估计式的残差 $e_t$ ，然后我们定义 $DW{\rm DW}$ 统计量：
$DW=∑t=2T(et−et−1)2∑t=1Tet2≈2(1−ρ^){\rm DW}=\frac{\sum\limits_{t=2}^T(e_t-e_{t-1})^2}{\sum\limits_{t=1}^Te_t^2}\approx 2(1-\hat\rho)$

由上述讨论可知 $DW{\rm DW}$ 的取值范围为： $0≤DW≤40\leq{\rm DW}\leq4$ 。根据样本容量 $T$ 和不含常数项的解释变量的个数 $k$ 查 $DW{\rm DW}$ 分布表，得临界值 $d_L$ 和 $d_U$ ，然后依下列准则考察计算得到的DW值，以决定模型的自相关状态。

$DW{\rm DW}$ 取值范围	检验决策规则
$0<DW<dL0<{\rm DW}<d_L$	正自相关
$dL<DW<dUd_L<{\rm DW}<d_U$	不能确定
$dU<DW<4−dUd_U<{\rm DW}<4-d_U$	无自相关
$4−dU<DW<4−dL4-d_U<{\rm DW}<4-d_L$	不能确定
$4−dL<DW<44-d_L<{\rm DW}<4$	负自相关

从判断准则中看到，存在两个不能确定的 $DW{\rm DW}$ 值区域，这是 $DW{\rm DW}$ 检验的一大缺陷。此外 $DW{\rm DW}$ 检验只能检验一阶自相关，对存在高阶自相关和存在滞后被解释变量的模型无法检验。

拉格朗日乘数检验（LM 检验，BG 检验）

拉格朗日乘数检验克服了 $DW{\rm DW}$ 检验的缺陷，适合于高阶序列相关及模型中存在滞后被解释变量的情形，由 Breusch 与 Godfrey 提出。

对于模型
$Yt=β0+β1Xt1+β2Xt2+⋯+βkXtk+ut,Y_t=\beta_0+\beta_1X_{t1}+\beta_2X_{t2}+\cdots+\beta_kX_{tk}+u_t \ ,$
如果怀疑随机扰动项是否存在 $AR(p){\rm AR}(p)$ 的情况：
$ut=ρ1ut−1+ρ2ut−2++...+ρput−p+εt,u_t = \rho_1u_{t-1}+\rho_2u_{t-2}++...+\rho_pu_{t-p}+\varepsilon_t \ ,$

可以利用拉格朗日乘数检验如下的受约束回归方程：
$Yt=β0+β1Xt1+...+βkXtk+ρ1ut−1+ρ2ut−2++...+ρput−p+εt,Y_t = \beta_0+\beta_1X_{t1}+...+\beta_kX_{tk}+\rho_1u_{t-1}+\rho_2u_{t-2}++...+\rho_pu_{t-p}+\varepsilon_t \ ,$

约束条件为：
$H0:ρ1=ρ2=...=ρp=0.H_0:\rho_1=\rho_2=...=\rho_p=0 \ .$

根据 OLS 估计得到残差 $e_t$ ，构造辅助回归得到可决系数 $R^2$
$et=β0+β1Xt1+...+β1Xtk+ρ1et−1+ρ2et−2++...+ρpet−p+εt,e_t=\beta_0+\beta_1X_{t1}+...+\beta_1X_{tk}+\rho_1e_{t-1}+\rho_2e_{t-2}++...+\rho_pe_{t-p}+\varepsilon_t \ ,$
构造 $L M$ 统计量，如果 $H_0$ 为真，则 $L M$ 统计量在大样本下渐进服从自由度为 $p$ 的 $χ2\chi^2$ 分布：
$LM=(T−p)R2∼χ2(p).LM=(T-p)R^2\sim\chi^2(p) \ .$
Ljung-Box 检验（Q 检验）

Ljung-Box 检验是一种可以检验高阶自相关的方法。检验是否存在 $AR(m){\rm AR}(m)$ ，提出原假设：

$H0:ρ1=ρ2=...=ρm=0,H_0:\rho_1=\rho_2=...=\rho_m=0 \ ,$
根据 OLS 估计得到残差 $e_t$ ，构造 $Q_{LB}$ 统计量：

$Q(m)=T(T+2)∑j=1mρj^2T−j∼χ2(m),Q(m)=T(T+2)\sum_{j=1}^m\frac{\hat{\rho_j}^2}{T-j}\sim\chi^2(m) \ ,$
其中 $ρ^j\hat{\rho}_j$ 为 $j$ 阶滞后的样本自相关系数：
$ρ^j=γ^(j)γ^(0)=∑i=1T−jeiei+j∑i=1Tei2,\hat{\rho}_j=\frac{\hat\gamma(j)}{\hat\gamma(0)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{T-j}e_ie_{i+j}}{\sum\limits_{i=1}^Te_i^2} \ ,$

$γ^(j)=∑i=1T−jeiei+j.\hat\gamma(j) = \sum_{i=1}^{T-j}e_ie_{i+j} \ .$

其中滞后阶数 $m$ 的选择会影响检验的效果，一般地取 $m=ln⁡(T)m=\ln(T)$ 较好。

序列相关性的修正措施

广义最小二乘法 GLS

要求 $Ω\boldsymbol\Omega$ 已知，假设模型存在非球形扰动，即存在自相关的同时存在异方差：
$Var(u)=E(uuT)=[σ12σ12...σ1Tσ21σ22...σ2T⋮⋮⋱⋮σT1σT2...σT2]=σ2Ω.{\rm Var}(\boldsymbol{u})={\rm E}\left(\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{\rm T}\right)=\left[ \begin{array}{cccc} \sigma_1^2 & \sigma_{12} & ... & \sigma_{1T} \\ \sigma_{21} & \sigma_2^2 & ... & \sigma_{2T} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma_{T1} & \sigma_{T2} & ...& \sigma_T^2 \\ \end{array} \right] = \sigma^2\boldsymbol\Omega \ .$
类似于修正异方差的 WLS， $Ω\boldsymbol\Omega$ 是一对称正定矩阵，有
$β~=(x′Ω−1x)−1x′Ω−1y\tilde{\boldsymbol\beta} =(\boldsymbol{x'}\boldsymbol{\Omega}^{-1} \boldsymbol{x})^{-1}\boldsymbol{x'}\boldsymbol{\Omega}^{-1} \boldsymbol{y}$
即为原模型的 GLS 估计量，是无偏且有效的估计量。

假设我们已知随机误差项满足 $AR(1){\rm AR}(1)$ 模型 ，这是一个 $Ω\boldsymbol\Omega$ 已知的情况，但如何获取 $Ω\boldsymbol\Omega$ 呢？
$ut=ρut−1+εt,u_t=\rho u_{t-1}+\varepsilon_t \ ,$
可以证明：
$Var(u)=σε21−ρ2[1ρ...ρT−1ρ1...ρT−2⋮⋮⋱⋮ρT−1ρT−2...1]=σ2Ω.{\rm Var}(\boldsymbol{u})=\frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{1-\rho^2} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & \rho & ... & \rho^{T-1} \\ \rho & 1 & ... & \rho^{T-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \rho^{T-1} & \rho^{T-2} & ...& 1 \\ \end{array} \right] = \sigma^2\boldsymbol\Omega \ .$
这里的 $σ2=Var(ut)=σε21−ρ2\sigma^2={\rm Var}(u_t)=\dfrac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2}$ ，从而有
$Ω−1=11−ρ2[1−ρ0...000−ρ1+ρ2−ρ...0000−ρ1+ρ2...000⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮000...1+ρ2−ρ0000...−ρ1+ρ2−ρ000...0−ρ1].\boldsymbol\Omega^{-1}=\frac{1}{1-\rho^2} \left[ \begin{array}{ccccccc} 1 & -\rho & 0 &... & 0 & 0 & 0 \\ -\rho & 1+\rho^2 & -\rho &... & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\rho & 1+\rho^2 &... & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 &... & 1+\rho^2 & -\rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 &... & -\rho & 1+\rho^2 & -\rho \\ 0 & 0 & 0 &... & 0 & -\rho & 1 \\ \end{array} \right] \ .$

由此我们可以看到，如果已知随机误差项满足 $AR(1){\rm AR}(1)$ 模型 ，此时的 GLS 估计是可以直接计算的。

广义差分法 GD

广义差分法也适用于多元回归模型和高阶序列相关问题，但要求 $ρ\rho$ 已知。我们以 $AR(1){\rm AR}(1)$ 的一元线性回归模型为例：

$yt=β0+β1xt+ut,y_t=\beta_0+\beta_1x_t+u_t \ ,$

$ut=ρut−1+εt,u_t=\rho u_{t-1}+\varepsilon_t \ ,$

写出滞后一期的模型：
$yt−1=β0+β1xt−1+ut−1,y_{t-1}=\beta_0+\beta_1x_{t-1}+u_{t-1} \ ,$
做广义差分操作：
$yt−ρyt−1=β0(1−ρ)+β1(xt−ρxt−1)+εt,y_t-\rho y_{t-1}=\beta_0(1-\rho)+\beta_1(x_t-\rho x_{t-1})+\varepsilon_t \ ,$

$yt∗=β0(1−ρ)+β1xt∗+εty^*_t=\beta_0(1-\rho)+\beta_1x^*_t+\varepsilon_t$

其中 $εt\varepsilon_t$ 满足 MLR.1 - MLR.5，可以进行 OLS 估计得到 BLUE 的估计量，

但第一个观测值由于差分而丢失，需要通过普莱斯-温斯特（Praise and Winsten）变换补齐
$y1∗=1−ρ2y1,x1∗=1−ρ2x1.y_1^*=\sqrt{1-\rho^2}y_1, \ \ x_1^*=\sqrt{1-\rho^2}x_1 \ .$
若存在高阶序列相关：
$ut=ρ1ut−1+ρ2ut−2++...+ρput−p+εt,u_t = \rho_1u_{t-1}+\rho_2u_{t-2}++...+\rho_pu_{t-p}+\varepsilon_t \ ,$
则广义差分模型为
$yt−ρ1yt−1...−ρpyt−p=β0(1−ρ1−...−ρp)+β1(xt1−ρ1xt−1,1−...−ρpxt−p,1)+...+βk(xtk−ρ1xt−1,k−...−ρpxt−p,k)+εt.\begin{aligned} y_t-\rho_1y_{t-1}...-\rho_py_{t-p}&=\beta_0(1-\rho_1-...-\rho_p)+\beta_1(x_{t1}-\rho_1x_{t-1,1}-...-\rho_px_{t-p,1})+...\\& \ \ \ \ +\beta_k(x_{tk}-\rho_1x_{t-1,k}-...-\rho_px_{t-p,k})+\varepsilon_t \ . \end{aligned}$

差分后的模型不存在序列相关问题，可以进行 OLS 估计。

可行的广义最小二乘法 FGLS

适用于 $Ω\boldsymbol\Omega$ 未知时的情况。如果我们认为随机误差项存在一阶自相关问题，我们只需要计算出 $ρ^\hat\rho$ 就可以求出 $Ω\boldsymbol\Omega$ 。主要有两种方式对 $ρ\rho$ 进行估计：

$DW{\rm DW}$ 推算

$ρ^=1−DW2.\hat\rho=1-\frac{DW}{2} \ .$

OLS 估计

$et=ρ^et−1+εt,e_t = \hat\rho e_{t-1}+\varepsilon_t \ ,$

但我们需要注意，以上两种方法仅适用于 $AR(1){\rm AR}(1)$ ，是粗略的精度不高的估计。

杜宾两步法

如果我们认为随机误差项存在高阶自相关问题，我们可以先利用广义差分，将被解释变量的滞后项作为解释变量进行 OLS 回归，估计出自相关系数，然后再反解出 OLS 估计量。这种方法被称为杜宾两步法。

我们还是以 $AR(1){\rm AR}(1)$ 为例，高阶自相关同理，首先写出广义差分模型：
$yt−ρyt−1=β0(1−ρ)+β1(xt−ρxt−1)+εt,y_t-\rho y_{t-1}=\beta_0(1-\rho)+\beta_1(x_t-\rho x_{t-1})+\varepsilon_t \ ,$
将差分模型作移项变换：
$yt=β0(1−ρ)+ρyt−1+β1(xt−ρxt−1)+εt,y_t=\beta_0(1-\rho)+\rho y_{t-1}+\beta_1(x_t-\rho x_{t-1})+\varepsilon_t \ ,$
利用 OLS 估计得到 $ρ^\hat\rho$ 即为 $y_{t-1}$ 的系数，代入原差分方程系数对应，即可解出相应的 OLS 估计。
$yt∗=β0∗+β1∗xt∗+εt,y^*_t=\beta_0^*+\beta_1^*x^*_t+\varepsilon_t \ ,$

$β^0=β^0∗1−ρ^,β^1=β^1∗.\hat{\beta}_0=\frac{\hat{\beta}_0^*}{1-\hat\rho}\ , \ \ \ \ \hat{\beta}_1=\hat{\beta}_1^* \ .$

科克伦-奥科特迭代法

一般的统计软件会带有 Cochrane & Orcutt 迭代法的工具包。同样以 $AR(1){\rm AR}(1)$ 为例，

step.1 使用 OLS 估计获得残差 $e_t^{(1)}$ ：
$yt=β0+β1xt+ut,y_t=\beta_0+\beta_1x_t+u_t \ ,$
step.2 利用 $e_t^{(1)}$ 做如下回归并获得 $ρ^(1)\hat\rho^{(1)}$ ：
$et(1)=ρet−1(1)+εt,e_t^{(1)}=\rho e_{t-1}^{(1)}+\varepsilon_t \ ,$
step.3 利用 $ρ^(1)\hat\rho^{(1)}$ 对模型进行差分：
$yt−ρ^(1)yt−1=β0(1−ρ^(1))+β1(xt−ρ^(1)xt−1)+εt,y_t-\hat\rho^{(1)} y_{t-1}=\beta_0(1-\hat\rho^{(1)})+\beta_1(x_t-\hat\rho^{(1)} x_{t-1})+\varepsilon_t \ ,$
对差分模型进行 OLS 估计得到 $β^0∗\hat{\beta}_0^*$ 和 $β^1∗\hat{\beta}_1^*$ 。

step.4 由前一步估计的结果有：
$β^0=β^0∗1−ρ^,β^1=β^1∗,\hat{\beta}_0=\frac{\hat{\beta}_0^*}{1-\hat\rho}\ , \ \ \ \ \hat{\beta}_1=\hat{\beta}_1^* \ ,$
代入原回归方程得到新的残差 $e_t^{(2)}$ ：
$et(2)=yt−β0^−β1^xt.e_t^{(2)}=y_t-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_1}x_t \ .$
step 5. 利用 $e_t^{(2)}$ 做如下回归并获得 $ρ^(2)\hat\rho^{(2)}$ ，即为 $ρ\rho$ 的第二轮估计值：
$et(2)=ρet−1(2)+εt.e_t^{(2)}=\rho e_{t-1}^{(2)}+\varepsilon_t \ .$
依次迭代，当估计的 $ρ^(k)\hat\rho^{(k)}$ 与 $ρ^(k+1)\hat\rho^{(k+1)}$ 相差很小时，就找到了 $ρ\rho$ 的最佳估计值。