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系统输入单位采样序列，输出为单位脉冲响应

线性系统必须满足两个性质：可加性和齐次性
可加性就是系统对于同时输入两个序列所产生的响应等于这两个序列分别作用于系统所产生的响应之和
齐次性就是原序列乘以a加在这个系统上所产生的响应和原序列本身所产生的响应的a倍
当你判断一个系统是不是线性系统时必须要从这两个性质分别判断，缺一不可。

时不变系统
系统对于输入信号的响应与信号加到系统的时间无关,这是从定义角度来判断，及就是系统本身与时间无关。
或者你也可以这么说，系统的输出响应随输入的移位而移位
说白了其实就是.等号的左右两端的自变量同时加或减去一个数
这是要注意等号左边减取一个数相当于自变量的代换，每一个都要代换
等号右边减去一个数仅仅是序列减取这个数，其他不变
有些怪题等号右边有2个自变量，等号左边是-n0，右边是x(m)这咋办，老师上课讲的是左边减取n0，右边为x(m-n0),感觉不管你自变量是谁，我等号右边都要减去一个n0.

因果性：
在n时刻之前的输出取决于n时刻及n时刻之前的输入序列，和n时刻之后的无关，这是定义。如果系统的响应还与n时刻之后有关，那就叫非因果系统，记住因果系统是可以实现的，而非因果系统是无法实现的。假设你今天做这件事的成功率和未来某一天有关，那你今天的这件事无论如何都无法成功。小心一个概念，n时刻之前代表>=n,n时刻之后代表<n
比如输入序列x(n)在负半轴有值，那么就不是因果的，如果系统的单位脉冲响应h(n)在负半轴有值，那么也不是因果的。也就是说我们必须让x(n)和h(n)在n<0时的值是0就可以了，这类判断题一般会以图的形式考。

稳定性：对每一个有界的输入必然产生一个有界的输出，这是定义
或者我们也可以用公式来做，就是h(n)的绝对值在不断取和必须小于无穷大。

在你判断一个系统是否具有时不变性或因果性或稳定性时
都可以从两个方面入手，比如你要判断时不变性，可以从定义入手，也可以从公式入手，我们一般从公式入手，定义判断很难判断。

推导卷积的公式中间要用到2个公式，一个是齐次性，另一个是时不变性
卷积就是求线性时不变系统的输出的
一般求卷积的过程是
1.任取一个把自变量换成m
2.另一个自变量也换成m，在经过翻转和平移
3.二者相乘
4.求和
你可以参考老师的那道例题

我们给几个二级结论
x(n) = x(n)*单位采样序列
x(n)*单位采样序列右移5 = x(n-5)

在这里我们将点其他的知识
比如甲向乙发送一个信号，乙难道只收到了一个信号吗？不是，甲发送的信号可能沿直线就直接传到乙那了，也有可能经过云层反射和地面反射，再到乙那，这时就要经过不同的信道才可以。这样不同的信道最后到达乙那的时间必然不一样，这也就造成了我们上面那两个二级结论，第一个就是直线传播，第二个可能时云层反射或者地面反射。

求卷积有五个方法，我们学习了3个方法
这里讲不进位乘法求卷积
其中不进位的意思是如果乘出来的值大于10，并不向后一位进1
比如【0，1，2，3，4】和【1，1，1，1】卷积，其中0是0时刻，第一个1是0时刻。将上述两个右对齐相乘，最后乘机的起点对应的时刻是两个起点对应时刻相加。最后结果为0，1，3，6，10，9，7，4，其中0值对应的是0时刻，注意起点和0时刻不是一样的，起点是最左边，0时刻你懂的。

比如假如x(t) = {1,3（0时刻）,3,1},y(n) = {1（0时刻）,4,6,4,1},计算脉冲响应
这个和上面的那个不一样了，相当于已知乘机结果求其中一个因数。
首先二者的非零长度是4和5，所以那个因数的非零长度是2，因为2+4-1=5（这是一个二级结论记住，必须是非零）
因为第一个起点是-1时刻，第二个起点是0时刻，所以-1+a = 0
即a = 1；所以我们要求的那个因数的起点时刻是1，这时你可以在这个因数前面补上0，表示0时刻，但补不0都无所谓，我们考虑的是非零时刻，即使有0，在乘法中它也没用。现在我们用1，3，3，1乘以x，y得到的结果意义和1，4，6，4，1比较，得到x = 1，y = 1，所以我们要求的因数是
【1，1】，其中第一个1下面时刻是1。

关联和级联其实和我们电路上的串联和并联差不多
比如对于一个输入，它经过一个LTI系统，输出的结果在经过一个LTI系统，这叫串联，级连就是上述两个LTI系统结合到一起，信号只经过一个系统就能达到和第一个一样的输出，就不是第一级输出等于第二级输入。
例题：
一个x（n）信号输入到h1（t）中，输出结果m（n）输入到h2（n）系统中，最终输出结果为y(n).
第一种方法：分别求卷积，我卷积你，你卷积它，其实和第二种方法从数学上讲差不多，只不过是运算先后顺序发生了变换
第二种方法：利用级联的性质，先算h1（t）卷积h2（t），在和输入信号卷积。
通过上面2个方法，我们可以得出级联性质就是结合律，并联的性质就是分配律。

线性常系数差分方程，书上15页到17页
对于一个差分方程，如果不存在输入信号的乘机等其他的，就是线性的，如果没有系数是变量的那么就是常系数，满足以上两个条件就是LTI系统，其实线性常系数差分方程针对的就是LTI系统。那么还有就是如何判断一个方程的阶？i的最大值和最小值之差就是阶，y(n) = y(n-1)+x(n),1-0 = 1阶
为什么要判断一个方程是几阶？因为我们可通过阶数就可以判断求解需要多少个初始条件，一阶需要一个。

关于求解线性常系数差分方程，我们采用递推求解，因为我们很容易由n推到n+1，以此类推就可以总结出规律，表达式就直接的出来了，记住求解线性常系数差分方程最终的结果是输出序列y（n）。但这种方法不适合高阶次。
例一：y(n) = ay(n-1)+x(n),设输入信号是derta(n),初始条件是y(-1)=0,求y（n）
你直接代n=0，n=1等等代入，通过规律求得y(n),最后别忘了给y（n）乘上u(n)，
注意这里得到的是因果解，因为是朝n>0的方向递推的，但完全有可能朝n<0的方向递推，这是就得到非因果解。

例二：将上述初始条件改为y(n) = 0,n>0
这时我们就要逆向推，将n用n-1代替，以此类推，记住这时可能就不是在乘u(n)，自己看

例三：y(n) = 0,n<0,这个和第一个一样做法，正推。

例四：这个和前三个不太一样：y(n) = ay(n-1)-x(n),y(-1) = 1,判断是否是线性时不变的
我们假设输入为derta(n)，根据初始条件和规律求得y1(n)，在假设输入为
derta(n-1),同样得出y2(n),然后在把这两个信号相加在送到系统里，判断二者是否相等。
接下来判断是不是时变的，这是有一个小技巧，等号左边是y2(n),等号右边是y1(n)但是n要用n-1代替，为啥要用n-1代替，那是你自己上面假设输入为derta(n-1),如果输入为derta(n-2),那么就是用n-2代替，自己想明白。
归纳不管上述哪一个类型，第一步先判断朝那个方向进行，判断之后在在你选择的那个方向上不断进行n+1或n-1，根据规律求得y(n)，求得的y(n)还要根据n得范围乘以不同的u(n)。

最后对因果性讲一点
因果性时与n时刻左边输入有关，输出建立在n时刻右边，如下题
输入为derta(n),y(n)=0,n>0,这是一个非因果系统，因为因果系统的输出必须与n时刻（对于此题就是0时刻）的之后也就是n时刻的左边（也就是n时刻之前）有关，也就是说有了左边的输入，右边就应当有输出，但是n时刻左边有输入但是右边没输出，所以就不是因果系统。如果输出还和n时刻右边有关，那么也不是因果系统。