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当我们用有限元法(FEM)分析高频电磁学问题时，常常会在频域中计算 S 参数而不考虑互补域(也就是时域)中的结果。在时域中，我们可以找到其他有用信息，例如时域反射器(TDR)。在本篇博客文章中，我们将演示两个域之间的数据转换，以便通过快速傅立叶变换(FFT)处理得到所需计算域中的有效计算结果。

甚宽频范围的 S 参数计算

假设你正在模拟一个器件，希望在频域中以较小的频率步长或具有较长时间周期的时域反射器中获得非常宽的频率响应。这需要很长时间。然而，在这两种情况下，通过首先在互补域中运行仿真然后进行 FFT 以在优选域中生成结果，可以提高宽频率和时间范围内的计算性能。例如，你可以：

1. 模拟瞬态分析，然后对宽带频率响应执行时频 FFT
2. 对时域带通脉冲响应执行频率扫描，然后执行时域到频域 FFT

10 GHz 下同轴低通滤波器中电场模的对数表面图和时间平均功率流的箭头图。以较小频率步长执行宽带频率扫描可能是一项耗时且麻烦的任务。器件频率响应的清晰分辨率可以从时频 FFT 中找到，其中 FFT 过程瞬态输入的结束时间定义了最终结果的频率分辨率。设想用于激励源的调制高斯脉冲驱动频域宽带响应的时域模型。随着时间的推移，激励的能量逐渐衰减，最终消失。时域仿真作为 FFT 的输入执行的时间越长，FFT 输出中的频率步长越小。当仿真域中的能量在一定时间段后可忽略不计时，就不需要继续执行仿真了。相反，我们可以在能量小于某个阈值时停止瞬态仿真，并在执行 FFT 之前将剩余时间用零填充解。我们将此过程称为补零。

激励(源)集总端口的时域电压。左：电压正在收敛到零，S 参数在频域中。右：60 GHz 带宽下反射特性(S11)和插入损耗(S21)的绘图。

宽带和多频带天线的远场辐射方向图

宽带天线研究，例如 S 参数和/或远场辐射方向图分析，可以通过执行瞬态仿真和时频 FFT 获得。我们可以先运行瞬态研究，然后转换因变量(矢量磁势 A)，将集总端口的电压信号从时域转换到频域， 然后根据转换的频域数据计算S 参数和远场辐射结果。下面的双频带印刷天线显示两个谐振，在给定频率范围的 S 参数图中，计算的 S11 低于 -10 dB。

上：2.265 GHz 下双频带印刷条形天线的电场模和远场辐射方向图的表面图。下：S 参数图显示两个谐振区域，其中计算的 S11 低于 -10 dB。

时频傅立叶变换两步过程

在集总端口 设置窗口中，单击激励端口上的计算 S 参数 复选框，将电压激励类型设置为调制高斯。还可以指定调制正弦函数的中心频率(f0)。

电磁波，瞬态物理场接口中的集总端口设置。

调制的高斯激励电压定义为：其中  是标准差 ， 是中心频率， 是调制频移比。 的较小比值(例如 3％)可以增强最高频率附近的频率响应。此处的频率必须与“模型开发器”树中时频 FFT 研究步骤中使用的 S 参数计算的中心频率相匹配。

左：瞬态研究步骤设置。中：时频 FFT 研究步骤设置。右：模型开发器树中的默认求解器序列。

瞬态研究步骤的结束时间设置为调制正弦函数周期的 100 倍，对于简单的无源器件来说足够长，可以确保输入能量完全衰减。这种设置适用于典型的无源电路，但封闭腔型器件除外，其中的能量衰减时间可能更长。

停止条件会自动添加到瞬态求解器下(选中计算 S 参数复选框可在求解器设置中激活此停止条件)。当建模域中的总电能和磁能之和与输入能量相比小于 70 dB 时，瞬态研究由停止条件终止，所有时域数据都被传递到 FFT 步骤。为了在 0 到2f₀ 之间的频率范围内产生没有明显失真的频域数据，满足奈奎斯特准则的时间步长被设置为 1/4f₀ = 1/2B，其中 B 是带宽 2f₀。

为了提供精细的频率分辨率，FFT 研究步骤的结束时间比瞬态研究的结束时间长得多。在 FFT 研究步骤之前，补零将自动应用于瞬态研究数据。

传输线的时域带通脉冲响应

虽然瞬态分析对于时域反射器(TDR)处理信号完整性(SI)问题很有用，但许多 RF 和微波示例都是使用产生 S 参数的频域仿真来求解的。然而，从频域数据来看，很难识别该信号衰减的来源。通过在频域中模拟电路并执行频域到时域 FFT，可以在时域中研究频域中的电压信号。通过分析时域信号波动，计算结果有助于识别传输线上的物理不连续性和阻抗失配。

时域集总端口电压。信号的过冲和欠冲表明微带线的不连续性。在上图中，集总端口 1 处的电压带通脉冲响应的时域结果用具有多个线路不连续性的微带线绘制。电压波动时间对应于入射脉冲从两个线路不连续处(50 欧姆微带线的缺陷部分)反射的传播时间。从集总端口 1 到每个不连续点的往返行程时间与电压波动位置一致。

频域到时域傅立叶变换两步过程

时域结果可能随每个研究步骤中的输入变元而变化。研究步骤输入变元的影响如下表所示：

研究步骤	变元	对转换后时域结果的影响
频域	起始频率	低频包络噪声
	终止频率	分辨率和高频纹波噪声
	频率步长	错误识别周期
频域到时域 FFT	停止时间	错误识别可见性

频域研究步骤设置。频率步长 (即上面的频域研究步长设置中的 df)被设置为使时域响应中错误识别的周期大于从激励集总端口 1 到线路终端集总端口 2 的往返行程时间：

/c_const

其中 d 是电路板长度；是介电常数；c_const 表示真空中的光速，是 COMSOL Multiphysics® 软件中的一个预定义常数。

频域到时域 FFT 研究步骤设置。在执行 FFT 时，使用的是高斯窗函数，这有助于抑制来自有限频率扫描范围的噪声。每个研究步骤都使用在输出中存储物理场 选项，定义可存储计算结果的选择。通过为在输出中存储物理场 设置仅选择集总端口边界，可以大大减小模型文件的大小。

管理计算结果

由于 FFT 仅转换第一个域中的因变量，因此只能在第二个域中使用与因变量直接相关的后处理变量，通过解存储 1 数据集，通常可以访问第一个域的结果。频域到时域 FFT 研究步骤将频域中因变量的解转换到时域，其时间步非常小，每个周期十个采样，由模型中的最高频率定义。只有可以用因变量表示的后处理变量对结果分析有效。由于转换后的解通常包含许多时间步，因此建议使用在输出中存储物理场 选项来减小模型的大小。本文内容来自 COMSOL 博客，点击，延伸文章。

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