何为赫夫曼树

1. 给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。
2. 赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

基本概念

1. 路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1
2. 结点的权及带权路径长度：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积
3. 树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
4. WPL最小的就是赫夫曼树
   
   例如上图2中，构建的即为赫夫曼树。

构建方法

1. 从小到大进行排序, 将每一个数据，每个数据都是一个节点 ， 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树
2. 取出根节点权值最小的两颗二叉树
3. 组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
4. 再将这颗新的二叉树，以根节点的权值大小参与排序，再次排序， 不断重复 1-2-3-4 的步骤，直到数列中，所有的数据都被处理，就得到一颗赫夫曼树

例如，以{13, 7, 8, 3, 29, 6, 1} 这个数组为例：

代码实现

代码已上传至GitHub

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;public class HuffmanTree {private Node root;private int order = 0;/*** 霍夫曼树的构建方法* @param arr：这里我们传入的数组的元素就是每个节点的权值*/public void build(int[] arr){// 把每个数据都当成节点Node[] nodes = new Node[arr.length];for (int i=0; i<arr.length; i++){nodes[i] = new Node(arr[i]);}// 对权值进行排序bubbleSort(nodes);// 这里将数组转化为list，方便下面的删除操作List<Node> list = new ArrayList<>(Arrays.asList(nodes));while (list.size() > 1){// 取出权值最小的两个节点，取出后从list中删除Node left = list.get(0);Node right = list.get(1);list.remove(left);list.remove(right);// 将权值最小的两个节点组成一个树，根节点的权值为两节点的权值之和root = new Node(left.val + right.val);root.left = left;root.right = right;// 将新建的树即根节点，放进list中，并保持有序int insert = 0;for (int i=0; i<list.size(); i++){if (root.val <= list.get(i).val){break;}insert ++;}list.add(insert, root);}}/*** 冒泡排序，对Node数组按照权值排序* @param arr*/public void bubbleSort(Node[] arr){Node temp;for (int n=0; n<arr.length; n++){for (int i=1; i<arr.length-n; i++){if (arr[i-1].val > arr[i].val){temp = arr[i];arr[i] = arr[i-1];arr[i-1] = temp;}}}}/*** 中序遍历：打印整颗二叉树*/public void show(){if (root == null){System.out.println("二叉树为空！！！");return;}showRecusion(root);}/*** 打印的递归体* @param node*/private void showRecusion(Node node){// 一直向左递归，直到左叶子节点if (node.left != null){showRecusion(node.left);}// 然后开始回溯，打印父节点，接着打印右叶子节点，刚好符合二叉排序树的排序System.out.println(String.format("第一个%d数值为：%d", order, node.val));order ++;if (node.right != null){showRecusion(node.right);}}public static void main(String[] args) {HuffmanTree huffmanTree = new HuffmanTree();int[] arr = {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1};huffmanTree.build(arr);huffmanTree.show();}
}/*** 节点类*/
class Node{public int val;public Node left = null;public Node right = null;public Node(int val){this.val = val;}
}

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