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AP微积分微分方程计算中只考察分离变量法、斜率场以及欧拉法。

内在联系是：针对

微分方程，利用分离变量法

可以求得原方程；但是对于

不能分离变量的，只能根据斜率场来研究原函数的性质了。不过斜率场并不能得到函数值，只能得到函数族；退而求其次，根据欧拉法可以得到近似的函数值。当步长

足够小时，还是能够得到较为精确的值的。

而本文主要介绍AP微积分中的三种微分方程模型：

1.指数型模型(Exponential Growth);
2.限制型模型(Restricted Growth);
3.逻辑型模型(Logistic Growth)。

1.指数型模型(Exponential Growth)

指数型模型是理想情况下的自然增长函数，每一时刻的增长率与此时的种群数量有关（种群数量多那么增长的也快）。

代表种群数量，

代表初始值，

代表时间，

为常数

证明：

当

时

注：当每一时刻的衰退率与此时的种群数量有关，

称为自然衰退模型，

。

2.限制型模型(Restricted Growth)

限制条件下的自然增长考虑的是环境容量对于种群数量增长的抑制作用，当种群数量越接近环境容量，则抑制作用越强，增长率越小。

代表种群数量，

代表初始值，

代表环境容量，

代表时间，

为常数

证明：

当

时

注：限制条件下的衰退模型为

为环境中种群的最少数量，当种群数量越接近最低时，种群数量的衰退就越慢，最后当

时，就不再衰退了。

3.逻辑型模型(Logistic Growth)

逻辑型模型既考虑了某一时刻对种群数量的促进作用，也考虑到了环境容量对于种群数量增长的抑制作用， 用一个乘积来表示两者的相互作用

。

代表种群数量，

代表初始值，

代表环境容量，

代表时间，

为常数

证明：

当

时

所以

逻辑型增长常考的是当

时，增长率最大：从

到

增长率逐渐增大；从

到

增长率逐渐减小，一直到零。这也非常好地体现了种群数量以及环境容量对于增长率的促进与抑制作用。

三种微分方程模型是对现实世界的一种刻画，并没有优劣之分，只有是否合适。比如细菌培养初期，细菌增长可能是指数型增长，但是长期看又可能是限制型增长或者逻辑型增长。

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