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- TSP Model 1： `subtour-elimination` 消除子环路
- TSP整数规划模型
- Python调用Gurobi实现中的一些小问题
- TSP Model 2 ： MTZ约束消除子环路
- MTZ约束消除子环路
- 为什么`MTZ`约束可以消除子环路？
- `callback`的工作逻辑: 王者荣耀版独家解读
- 使用`callback`的通用步骤
- `callback`实现`subtour-elimination`的详细代码
运筹学修炼日记：TSP中两种不同消除子环路的方法及callback实现（Python调用Gurobi求解）
TSP问题的一般模型
Traveling Salesman Problem(TSP)，中文名叫旅行商问题，货郎担问题（前者更常见）。TSP的描述如下： 给定一系列的结点集合
如下图
图片来自：http://algorist.com/problems/Traveling_Salesman_Problem.html
上述例子中的节点可以广义化成一系列的区域，如下图。但是本质是一样的问题。
图片来自http://www.math.uwaterloo.ca/tsp/methods/opt/subtour.htm
该问题是计算机领域和应用数学领域一个非常经典和重要的问题。下面我们来从运筹学的角度，来详细了解一下TSP。
直观上来讲，我们可以将问题建模为：
上面的模型：
- 约束1：每个点都被离开一次；
- 约束2：每个点都被到达一次。
也就是说，上面的两个约束联合起来，可以保证，获得的解一定满足：每一个点都被访问一次，并且，经过一个点就会离开一个点。看上去貌似是没错的吧，直觉上是可以得到一条上图中展示的路径的，依次不重复经过所有节点的封闭的完美路径。但是不然。
也就是说，上述模型并不正确，会导致一个叫做子环路subtour的东东出现。如下面的简单解释 子环路（subtour）：没有包含所有节点的一条闭环。子环路首先是一个封闭的环；其次，这个环中被访问的节点集合(假设为
图片来自http://www.math.uwaterloo.ca/tsp/methods/opt/subtour.htm
可以看到，子环路也完美的满足(i) 每个点只被访问一次，并且(ii) 经过一个点就离开那个点。但是这样的解会导致解中含有多个相离的环，也就是subtour。而我们需要的解是一个单个的经过所有点的大环。为了得到一个大环，我们就要添加消除子环路的约束，来完善TSP的模型。
这里比较常见的消除子环路的办法有两种：
- 加入subtour-elimination 约束
- 加入Miller-Tucker-Zemlin(MTZ)约束
当然，之前我还钻研过TSP的另外一种建模思路，就是用1-tree的定义，结合纯图论的理论来支持建模的，日后我再专门写一个1-tree建模+column generation求解的文章。
TSP Model 1： subtour-elimination 消除子环路
TSP整数规划模型
之前，我们的问题描述中提到，图中点的个数为
换句话说，对于点
也就是，只有上面这个条件成立，才会导致subtour的出现。 那么这个子环路不存在的条件就是(即破圈的方法)加入下面的约束
也就是说，我们只允许所有点都被包含进来的环存在，即包含点的个数为N的环，删除其余所有的环。那怎么做呢，一个简单的想法就是枚举，也就是我们在TSP中经常看到的约束：
可以看到
【小坑1】 上面的模型中，是假设了网络是全连接的情况，也就是任何两个点都是可以直接到达的，这也是为什么前两条约束加了
Python调用Gurobi实现中的一些小问题
这个subtour-elimination的约束，是一个枚举的约束，我们不能在建模的时候就直接全枚举，这样的话有
那怎么办呢？业内一般采用Gurobi或者CPLEX求解器中提供的callback(回调函数)的方法来动态的添加subtour-elimination约束。总的来讲，就是在branch and bound tree迭代的过程中，根据当前结点的松弛后的线性规划模型(relaxed LP)的解，来检查该解是否有存在子环路 subtour，如果有，我们就把执行subtour-elimination时候产生的破圈约束加到正在求解的模型中去; 如果没有，我们就直接接着迭代算法。
当然这个check的过程和branch and bound tree的过程是并行的。具体实现在下面展示。这里由于篇幅原因和为了保证可读性。我们先把这小节结束了。
TSP Model 2 ： MTZ约束消除子环路
MTZ约束消除子环路
另外一种消除子环路的方法是加入Miller-Tucker-Zemlin(MTZ)约束。(本人认为这个方法的思想真的非常巧妙，做这个的时候就非常佩服前辈们的奇思妙想)。具体方法是：
- 对每个结点，引入一个决策变量
- 利用
构造Miller-Tucker-Zemlin(MTZ)约束
这样就可以完美的解决子环路的问题。
也就是引入决策变量
【小思考1】
其中
理论上来讲，根据课本中的说法，
我们还是整理成逻辑约束的形式吧，上面的看着费劲
其中
这样，TSP问题的第二种最终版模型可以表示为
MTZ约束的加入，使得原问题增加了
并且，就我看过的论文来讲，大家还是用MTZ约束多一些。像TRB，TRC，TRE, TS, EJOR上的文章，很多都是用MTZ约束，当然他们也不会在论文中指出这些约束是MTZ约束，他们只是说这是消除子环路的，毕竟MTZ也是常识了。具体论文我不在这里举例了，之后再找时间贴过来。
接下来还是列几个小坑在这里，把前面说过的坑也一并再强调一下。
【小坑2】 注意，实现这个的时候需要注意，由于
我们将模型修正一下，变成点集为
请仔细琢磨上面约束1，约束2和约束3，不等式后面的comment部分的细微变化，这些都是为之后写代码的时候做基础，为了避免栽跟头。
接下来，我们解释一下为什么MTZ约束会work吧。
为什么MTZ约束可以消除子环路？
MTZ这个约束为什么能够消除子环路呢？
我们将MTZ约束、做一个变换，得到：
在上式中，
这个约束保证了，当
我们任取
也就是说，根据MTZ约束，如果上述情况成立，则必有：
将以上相加，我们得到
上面不等式显然不成立，这说明，这个子环路不可能出现，这也就用反证法证明了，任一满足MTZ的点集，都不存在环路。而注意，我们的约束后的comment是
其他情况，任意取
下面我们来讲一下，Python调用Gurobi,如何用callback实现subtour-elimination，以及如何实现MTZ版的TSP求解吧。
Python+Gurobi: 用callback实现TSP的subtour-elimination
首先，我们还是以VRP上古大神solomon [^1]的benchmark为算例，来进行今天代码的数值实验部分。
算例下载地址：https://www.sintef.no/projectweb/top/vrptw/solomon-benchmark/100-customers/
在这之前，我想先说一下Gurobi和CPLEX里面的callback是怎么个逻辑：
callback的工作逻辑: 王者荣耀版独家解读
下面我夹杂王者荣耀的角度来轻松解释callback是怎么起作用的，打农药的小伙伴应该秒懂。(有些地方不严谨，但是大概是这么个意思，这段本来就是辅助理解，不严谨的地方可以私信我，我再修改)
1.之前说过，subtour-elimination的想法，是想把所有的子集列举出来，为每一个子集添加破圈约束，但是这么做太慢。 2.于是我们想，先不加subtour-elimination的约束，我们先把只含有前两组约束的IP输入给Gurobi求解，Gurobi当然会先把IP的整数约束松弛掉，把模型变成LP，然后调用branch and bound算法，并将IP松弛后的relaxed LP作为根节点，进行branch and bound tree的迭代。 下面高能解释来了 我们把这个算法的迭代比作一场王者双排排位赛。假设我们准备开始玩游戏，我方打野选了野王Gurobi，OK,我见势立马一手奶妈蔡文姬,死跟打野,只干两件事1. 探视野(识别subtour)和2. 给助攻(根据subtour构建破圈约束)。Gurobi大佬构建模型，并且加入了前两组约束。(铭文带的不够呀，我有点慌，大佬却说，躺好看我carry, 帮我看蓝探视野)，而我们也不示弱, 选了subtour-elimination的辅助装出装策略。(也就是subtour-elimination的callback函数，用于添加通过callback的方式添加subtour-elimination约束的) 3.游戏开始，Gurobi打着前两组约束，并且设置model.Params.lazyConstraints = 1也就是给我(软辅蔡文姬)发出跟着我的信号。然后拉着我一起双排开始了游戏，代码中就是model.optimize(subtourelim)。 OK，算法开始迭代。野王Gurobi还是基本操作,熟练的branch and bound在野区以最适合的刷野路径刷野。在刷野(迭代)的过程中，在每个branch and bound tree的结点处，Gurobi会去调用各种变式的simplex算法得到该节点的解。如果得到了一个整数解（也可以是得到小数解就操作），我们可以在这个地方，人为的插一脚，相当于Gurobi老哥正在屁颠屁颠刷野(跑算法)呢，我们在旁边探视野(做监工)，一直就这么直勾的看着。我们看到老哥得到了一个整数解(或者一个小数可行解)，一机灵，激动地过去拍拍Gurobi老哥的肩膀说，大佬，我拿一下这个节点的LP解哈，您继续。 4.OK, 拿到了LP的解以后，我们自己来看看这个解中存不存在subtour,如果我们检测完后发现不存在。尴尬，我们假装啥也没发生。继续静静地看着Gurobi老哥刷野(算法迭代)。下一次，Gurobi老哥又得到了一个整数解(或者一个小数可行解)，我们再厚脸皮去拿过来检测，结果发现有2-5-8-2这个子环路混子混在里面，这次可被我逮个正着哈，小伙儿，你子环路了幺。我们激动地大声告诉Gurobi老哥："老哥,老哥，子环路2-5-8-2在这儿挑衅你，你去GUNK它，把2-5-8-2这个混子送回家"，顺便我们还根据这个子环路2-5-8-2的特点，快速给Gurobi老哥想出了一套连招：老哥，你1433223就可以秒他!!! 哈哈，在实际中，把这个子环路踢出去的方法（也就是刚刚的连招）就是加下面这个约束：
上面的描述并不完美，但是我想，应该能给你一些辅助理解callback工作逻辑的帮助。
使用callback的通用步骤
其实总结一下，使用callback的方法分为下面几步(只针对本问题)
- 第一步：利用Gurobi构建数学模型，只加入前两组约束；
- 第二步：构建一个用来识别subtour并返回消除子环路约束的函数subtourelim(model, where)(注意，这个函数的参数model, where是固定的,求解器规定的)。这个函数用于：拿到整数规划分支定界迭代过程中当前结点的解的信息，并根据当前节点的解，识别子环路，如有则返回消除子环路的约束，否则不作操作。
- 第三步：设置使用lazyConstraints，并启动优化算法求解模型,也就是model.optimize(subtourelim)，而且必须以callback函数subtourelim(model, where)为参数，具体代码为：
model._vars = X
model.Params.lazyConstraints = 1
model.optimize(subtourelim)【Remark】这里，subtourelim(model, where)中，添加子环路消除约束是以lazyConstraints的形式添加的，lazyConstraints就是不在建模一开始就加入，而是在算法迭代的过程中，动态的在branch and bound的分支节点处才加入的约束。可以通过callback函数，控制在节点的解满足什么样的条件下，我们去构建特定形式的约束,这个约束以lazyConstraints的形式构建并添加到求解的函数model.optimize()中，然后Gurobi就可以自动的识别，且调用callback函数，按照你的要求在求解过程中把约束加进去。这一招branch and cut, benders decomposition, row generation的时候用的非常多。想要进阶的小伙伴这招儿还是必须要攻克的。
callback实现subtour-elimination的详细代码
这部分代码有点长，待我明天再放出来把。算了，还是直接放上来把。
首先定义一些读取数据的函数：
- readData(path, nodeNum):读取.txt文档中的算例数据;
- reportMIP(model, Routes)：获得并打印最优解信息;
- getValue(var_dict, nodeNum):获得决策变量的值，并存储返回一个np.array()数组;
- getRoute(x_value):根据解x_value得到该解对应的路径。
# _*_coding:utf-8 _*_
'''
@author: Hsinglu Liu
@version: 1.0
@Date: 2019.5.5
'''from __future__ import print_function
from __future__ import division, print_function
from gurobipy import *
import re;
import math;
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import copy
from matplotlib.lines import lineStyles
import timestarttime = time.time()# function to read data from .txt files
def readData(path, nodeNum):nodeNum = nodeNum;cor_X = []cor_Y = []f = open(path, 'r');lines = f.readlines();count = 0;# read the infofor line in lines:count = count + 1;if(count >= 10 and count <= 10 + nodeNum):line = line[:-1]str = re.split(r" +", line)cor_X.append(float(str[2]))cor_Y.append(float(str[3]))# compute the distance matrixdisMatrix = [([0] * nodeNum) for p in range(nodeNum)]; # 初始化距离矩阵的维度,防止浅拷贝# data.disMatrix = [[0] * nodeNum] * nodeNum]; 这个是浅拷贝，容易重复for i in range(0, nodeNum):for j in range(0, nodeNum):temp = (cor_X[i] - cor_X[j])**2 + (cor_Y[i] - cor_Y[j])**2;disMatrix[i][j] = (int)(math.sqrt(temp));
# disMatrix[i][j] = 0.1 * (int)(10 * math.sqrt(temp));
# if(i == j):
# data.disMatrix[i][j] = 0;
# print("%6.0f" % (math.sqrt(temp)), end = " ");temp = 0;return disMatrix;def printData(disMatrix):print("-------cost matrix-------n");for i in range(len(disMatrix)):for j in range(len(disMatrix)):#print("%d %d" % (i, j));print("%6.1f" % (disMatrix[i][j]), end = " ");
# print(disMatrix[i][j], end = " ");print();def reportMIP(model, Routes):if model.status == GRB.OPTIMAL:print("Best MIP Solution: ", model.objVal, "n")var = model.getVars()for i in range(model.numVars):if(var[i].x > 0):print(var[i].varName, " = ", var[i].x)print("Optimal route:", Routes[i])def getValue(var_dict, nodeNum): x_value = np.zeros([nodeNum + 1, nodeNum + 1]) for key in var_dict.keys(): a = key[0]b = key[1]x_value[a][b] = var_dict[key].x return x_value def getRoute(x_value):# 假如是5个点的算例，我们的路径会是1-4-2-3-5-6这样的，因为我们加入了一个虚拟点# 也就是当路径长度为6的时候，我们就停止，这个长度和x_value的长度相同x = copy.deepcopy(x_value)
# route_temp.append(0)previousPoint = 0arcs = []route_temp = [previousPoint] count = 0 while(len(route_temp) < len(x) and count < len(x)): print('previousPoint: ', previousPoint, 'count: ', count)if(x[previousPoint][count] > 0): previousPoint = count route_temp.append(previousPoint) count = 0 continueelse:count += 1return route_temp # cost = [[0, 7, 2, 1, 5],
# [7, 0, 3, 6, 8],
# [2, 3, 0, 4, 2],
# [1, 6, 4, 0, 9],
# [5, 8, 2, 9, 0]]然后定义几个非常关键的用于添加subtour-elimination约束的函数：
- subtourelim(model, where): callback函数，用于为model对象动态添加subtour-elimination约束；
- computeDegree(graph): 给定一个graph(二维数组形式)，也就是给定一个邻接矩阵，计算出每个结点的degree.(degree=每个结点被进入次数+被离开的次数)；
- findEdges(graph): 给定一个graph(二维数组形式)，也就是给定一个邻接矩阵，找到该图中所有的边，例如[(1, 2), (2, 4), (2, 5)]；
- subtour(graph):给定一个graph(二维数组形式)，也就是给定一个邻接矩阵，找到该图中包含结点数目最少的子环路，例如[2, 3, 5]。
其中，函数subtourelim(model, where)中，调用了函数computeDegree(graph)、findEdges(graph)和subtour(graph)。
# Callback - use lazy constraints to eliminate sub-tours# Callback - use lazy constraints to eliminate sub-toursdef subtourelim(model, where): if(where == GRB.Callback.MIPSOL): # make a list of edges selected in the solutionprint('model._vars', model._vars)
# vals = model.cbGetSolution(model._vars)x_value = np.zeros([nodeNum + 1, nodeNum + 1]) for m in model.getVars():if(m.varName.startswith('x')):
# print(var[i].varName)
# print(var[i].varName.split('_'))a = (int)(m.varName.split('_')[1]) b = (int)(m.varName.split('_')[2])x_value[a][b] = model.cbGetSolution(m) print("solution = ", x_value)
# print('key = ', model._vars.keys())
# selected = []
# for i in range(nodeNum):
# for j in range(nodeNum):
# if(i != j and x_value[i][j] > 0.5):
# selected.append((i, j))
# selected = tuplelist(selected)
# # selected = tuplelist((i,j) for i in range(nodeNum), for if x_value[i][j] > 0.5)
# print('selected = ', selected)# find the shortest cycle in the selected edge listtour = subtour(x_value)print('tour = ', tour) if(len(tour) < nodeNum + 1): # add subtour elimination constraint for every pair of cities in tourprint("---add sub tour elimination constraint--")
# model.cbLazy(quicksum(model._vars[i][j]
# for i in tour
# for j in tour
# if i != j)
# <= len(tour)-1)
# LinExpr = quicksum(model._vars[i][j]
# for i in tour
# for j in tour
# if i != j)for i,j in itertools.combinations(tour, 2):print(i,j) model.cbLazy(quicksum(model._vars[i, j]for i,j in itertools.combinations(tour, 2))<= len(tour)-1)LinExpr = quicksum(model._vars[i, j]for i,j in itertools.combinations(tour, 2))print('LinExpr = ', LinExpr)print('RHS = ', len(tour)-1) # compute the degree of each node in given graph
def computeDegree(graph):degree = np.zeros(len(graph))for i in range(len(graph)):for j in range(len(graph)):if(graph[i][j] > 0.5):degree[i] = degree[i] + 1degree[j] = degree[j] + 1print('degree', degree)return degree # given a graph, get the edges of this graph
def findEdges(graph):edges = []for i in range(1, len(graph)):for j in range(1, len(graph)):if(graph[i][j] > 0.5):edges.append((i, j))return edges # Given a tuplelist of edges, find the shortest subtour
def subtour(graph):# compute degree of each nodedegree = computeDegree(graph)unvisited = []for i in range(1, len(degree)):if(degree[i] >= 2):unvisited.append(i)cycle = range(0, nodeNum + 1) # initial length has 1 more cityedges = findEdges(graph)edges = tuplelist(edges)print(edges)while unvisited: # true if list is non-emptythiscycle = []neighbors = unvisitedwhile neighbors: # true if neighbors is non-emptycurrent = neighbors[0]thiscycle.append(current)unvisited.remove(current)neighbors = [j for i,j in edges.select(current,'*') if j in unvisited]neighbors2 = [i for i,j in edges.select('*',current) if i in unvisited]if(neighbors2):neighbors.extend(neighbors2)
# print('current:', current, 'n neighbors', neighbors)isLink = ((thiscycle[0], thiscycle[-1]) in edges) or ((thiscycle[-1], thiscycle[0]) in edges)if(len(cycle) > len(thiscycle) and len(thiscycle) >= 3 and isLink):
# print('in = ', ((thiscycle[0], thiscycle[-1]) in edges) or ((thiscycle[-1], thiscycle[0]) in edges))cycle = thiscyclereturn cyclereturn cycle然后是建模部分的代码，建模部分相比学运筹的人比较熟悉，这里比较特殊的就是求解时候的几行代码：
- model.Params.lazyConstraints = 1 : set lazy constraints Parameter
- model.optimize(subtourelim) : use callback function when executing branch and bound algorithm
# nodeNum = 5
nodeNum = 10
# # path = 'C:UsershsingluLiueclipse-workspacePythonCallGurobi_ApplicationsVRPTWR101.txt';
path = 'solomon-100/in/c201.txt';
cost = readData(path, nodeNum)
printData(cost)model = Model('TSP')# creat decision variables
X = {}
mu = {}
for i in range(nodeNum + 1): mu[i] = model.addVar(lb = 0.0, ub = 100 #GRB.INFINITY# , obj = distance_initial, vtype = GRB.CONTINUOUS, name = "mu_" + str(i) )for j in range(nodeNum + 1): if(i != j):X[i, j] = model.addVar(vtype = GRB.BINARY, name = 'x_' + str(i) + '_' + str(j) )# set objective function
obj = LinExpr(0)
for key in X.keys():i = key[0]j = key[1]if(i < nodeNum and j < nodeNum):obj.addTerms(cost[key[0]][key[1]], X[key])elif(i == nodeNum):obj.addTerms(cost[0][key[1]], X[key])elif(j == nodeNum):obj.addTerms(cost[key[0]][0], X[key])model.setObjective(obj, GRB.MINIMIZE)# add constraints 1
for j in range(1, nodeNum + 1): lhs = LinExpr(0)for i in range(0, nodeNum): if(i != j):lhs.addTerms(1, X[i, j])model.addConstr(lhs == 1, name = 'visit_' + str(j))# add constraints 2
for i in range(0, nodeNum):lhs = LinExpr(0)for j in range(1, nodeNum + 1): if(i != j):lhs.addTerms(1, X[i, j])model.addConstr(lhs == 1, name = 'visit_' + str(j))# model.addConstr(X[0, nodeNum] == 0, name = 'visit_' + str(0) + ',' + str(nodeNum)) # set lazy constraints
model._vars = X
model.Params.lazyConstraints = 1
model.optimize(subtourelim)
# subProblem.optimize()
x_value = getValue(X, nodeNum)
# route = getRoute(x_value)
# print('optimal route:', route) 搞定。再重复一下，关键的地方就是subtourelim()这个函数和subtour(graph)这两个关键函数。还有就是求解的时候，别忘了model.optimize(subtourelim).就可以了。
Ok,我们将solomon100个点的VRP算例中的c201.txt拿出来，取钱10个点运行一下，结果为：
obj : 127
optimal route: [0, 4, 3, 7, 1, 2, 5, 8, 9, 6, 0]完美！是不是觉得世界都又好了。哈哈，若干年前，我就是这种感觉。
Python+Gurobi: 实现TSP的MTZ约束版
首先定义一些读取数据的函数什么的，同上。
# _*_coding:utf-8 _*_
'''
@author: Hsinglu Liu
@version: 1.0
@Date: 2019.5.5
'''# _*_coding:utf-8 _*_
'''
@author: Hsinglu Liu
@version: 1.0
@Date: 2019.5.5
'''from __future__ import print_function
from __future__ import division, print_function
from gurobipy import *
import re;
import math;
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import copy
from matplotlib.lines import lineStyles
import timestarttime = time.time()# function to read data from .txt files
def readData(path, nodeNum):nodeNum = nodeNum;cor_X = []cor_Y = []f = open(path, 'r');lines = f.readlines();count = 0;# read the infofor line in lines:count = count + 1;if(count >= 10 and count <= 10 + nodeNum):line = line[:-1]str = re.split(r" +", line)cor_X.append(float(str[2]))cor_Y.append(float(str[3]))# compute the distance matrixdisMatrix = [([0] * nodeNum) for p in range(nodeNum)]; # 初始化距离矩阵的维度,防止浅拷贝# data.disMatrix = [[0] * nodeNum] * nodeNum]; 这个是浅拷贝，容易重复for i in range(0, nodeNum):for j in range(0, nodeNum):temp = (cor_X[i] - cor_X[j])**2 + (cor_Y[i] - cor_Y[j])**2;disMatrix[i][j] = (int)(math.sqrt(temp));
# disMatrix[i][j] = 0.1 * (int)(10 * math.sqrt(temp));
# if(i == j):
# data.disMatrix[i][j] = 0;
# print("%6.0f" % (math.sqrt(temp)), end = " ");temp = 0;return disMatrix;def printData(disMatrix):print("-------cost matrix-------n");for i in range(len(disMatrix)):for j in range(len(disMatrix)):#print("%d %d" % (i, j));print("%6.1f" % (disMatrix[i][j]), end = " ");
# print(disMatrix[i][j], end = " ");print();def reportMIP(model, Routes):if model.status == GRB.OPTIMAL:print("Best MIP Solution: ", model.objVal, "n")var = model.getVars()for i in range(model.numVars):if(var[i].x > 0):print(var[i].varName, " = ", var[i].x)print("Optimal route:", Routes[i])def getValue(var_dict, nodeNum): x_value = np.zeros([nodeNum + 1, nodeNum + 1]) for key in var_dict.keys(): a = key[0]b = key[1]x_value[a][b] = var_dict[key].x return x_value def getRoute(x_value):'''input: x_value的矩阵output:一条路径，[0, 4, 3, 7, 1, 2, 5, 8, 9, 6, 0]，像这样'''# 假如是5个点的算例，我们的路径会是1-4-2-3-5-6这样的，因为我们加入了一个虚拟点# 也就是当路径长度为6的时候，我们就停止，这个长度和x_value的长度相同x = copy.deepcopy(x_value)
# route_temp.append(0)previousPoint = 0route_temp = [previousPoint] count = 0 while(len(route_temp) < len(x)): #print('previousPoint: ', previousPoint )if(x[previousPoint][count] > 0): previousPoint = count route_temp.append(previousPoint) count = 0 continueelse:count += 1return route_temp
'''
# toy example
cost = [[0, 7, 2, 1, 5], [7, 0, 3, 6, 8],[2, 3, 0, 4, 2],[1, 6, 4, 0, 9],[5, 8, 2, 9, 0]]
''' 然后就是Python调用Gurobi求解TSP的代码了（MTZ约束消除子环路）。MTZ的实现还是比较简单的。
# nodeNum = 5
nodeNum = 10
# # path = 'C:UsershsingluLiueclipse-workspacePythonCallGurobi_ApplicationsVRPTWR101.txt';
path = 'solomon-100/in/c201.txt';
cost = readData(path, nodeNum)
printData(cost)model = Model('TSP')# creat decision variables
X = {}
mu = {}
for i in range(nodeNum + 1): mu[i] = model.addVar(lb = 0.0, ub = 100 #GRB.INFINITY# , obj = distance_initial, vtype = GRB.CONTINUOUS, name = "mu_" + str(i) )for j in range(nodeNum + 1): if(i != j):X[i, j] = model.addVar(vtype = GRB.BINARY, name = 'x_' + str(i) + '_' + str(j) )# set objective function
obj = LinExpr(0)
for key in X.keys():i = key[0]j = key[1]if(i < nodeNum and j < nodeNum):obj.addTerms(cost[key[0]][key[1]], X[key])elif(i == nodeNum):obj.addTerms(cost[0][key[1]], X[key])elif(j == nodeNum):obj.addTerms(cost[key[0]][0], X[key])model.setObjective(obj, GRB.MINIMIZE)# add constraints 1
for j in range(1, nodeNum + 1): lhs = LinExpr(0)for i in range(0, nodeNum): if(i != j):lhs.addTerms(1, X[i, j])model.addConstr(lhs == 1, name = 'visit_' + str(j))# add constraints 2
for i in range(0, nodeNum):lhs = LinExpr(0)for j in range(1, nodeNum + 1): if(i != j):lhs.addTerms(1, X[i, j])model.addConstr(lhs == 1, name = 'visit_' + str(j))# add MTZ constraints
# for key in X.keys():
# org = key[0]
# des = key[1]
# if(org != 0 or des != 0):
# # pass
# model.addConstr(mu[org] - mu[des] + 100 * X[key] <= 100 - 1)
for i in range(0, nodeNum):for j in range(1, nodeNum + 1):if(i != j):model.addConstr(mu[i] - mu[j] + 100 * X[i, j] <= 100 - 1) model.write('model.lp')
model.optimize()x_value = getValue(X, nodeNum)
route = getRoute(x_value)
print('optimal route:', route) 设置10个点跑一个toy example试试，结果为
Explored 683 nodes (4011 simplex iterations) in 0.19 seconds
Thread count was 8 (of 8 available processors)Solution count 5: 127 137 150 ... 230Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 1.270000000000e+02, best bound 1.270000000000e+02, gap 0.0000%
optimal route: [0, 4, 3, 7, 1, 2, 5, 8, 9, 6, 10]由于我们把起始点copy了一下，因此最优解为
obj : 127
optimal route: [0, 4, 3, 7, 1, 2, 5, 8, 9, 6, 0]后记
运筹修炼真是个非常磨人的事情，需要理论与实战结合才能理解更深入。理论已经门槛够高了，再加上编程实现，可真要了命了。另外有非常多的小细节，大佬们在论文中并不会讲，但是又非常关键，只有自己实际一个一个去踩坑，或者多请教前辈，毕竟行万里路不如高人指路。
这里我把我的笔记和心得放在这里，供大家参考，互相交流学习，进步。也是为我自己整理、复习一下之前的知识。以后我自己复习的时候回来看也非常方便。
国内运筹学科普好文还是不太多见，很多都是从1到100的文章。分析讲述一些论文的idea什么的，都是为基础非常好的优秀者们看的。详细的讲述从0到1，如何把基础的东西吃透的文章比较少，让我们这些还不够强的孩子着实举步维艰，听讲座听得懂idea，但是做起来却啥啥也不行。希望以后有干货的，实用的文章越来越多，帮助众多学子解决基本的，底层的疑惑文章。哎，感觉国内OR界博士生们对branch and cut, branch and price, branch and cut and price, benders, DW decomposition等都理解比较深，貌似国内OR人均水平为随手实现上述一系列精确算法如探囊取物。我还是继续好好迎头赶上，抓紧修炼自己把。希望以后能够真正能够慢慢提高理论和实战水准，荷枪实弹学到真技术，为做有质量的学术打好基础。同时，也希望国内运筹发展越来越好吧。
参考文献
[1]: Desrochers, M., Desrosiers, J., & Solomon, M. (1992). A new optimization algorithm for the vehicle routing problem with time windows. Operations research, 40(2), 342-354. https://doi.org/10.1287/opre.40.2.342 [2]:Gurobi documents https://www.gurobi.com/documentation/ [3]:Winston, W. L., & Goldberg, J. B. (2004). Operations research: applications and algorithms (Vol. 3). Belmont^ eCalif Calif: Thomson/Brooks/Cole. [4]:Desaulniers, G., Desrosiers, J., & Solomon, M. M. (Eds.). (2006). Column generation (Vol. 5). Springer Science & Business Media.