湖南省第十二届大学生计算机程序设计竞赛$H$题
规律，递推。
这种问题一看就有规律。可以按位统计对答案的贡献。即第$1$位对答案作出了多少贡献，第$2$位对答案作出了多少贡献.....累加和就是答案。
先写一个暴力的程序来找找规律：
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<vector> #include<map> #include<set> #include<queue> #include<stack> #include<iostream> using namespace std; typedef long long LL; const double pi=acos(-1.0),eps=1e-6; void File() {freopen("D:\\in.txt","r",stdin);freopen("D:\\out.txt","w",stdout); } template <class T> inline void read(T &x) {char c = getchar();x = 0;while(!isdigit(c)) c = getchar();while(isdigit(c)){x = x * 10 + c - '0';c = getchar();} }const int maxn=1010; struct X {int p; }s[maxn]; int n; int f[maxn][maxn];int main() {while(~scanf("%d",&n)){memset(f,0,sizeof f);for(int i=1;i<=n;i++) s[i].p=i;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i;j<=n;j++){for(int k=i;k<=(i+j)/2;k++) swap(s[k],s[j-(k-i)]);for(int k=1;k<=n;k++) f[s[k].p][k]++;for(int k=i;k<=(i+j)/2;k++) swap(s[k],s[j-(k-i)]);}}for(int i=1;i<=n;i++){int sum=0;for(int j=1;j<=n;j++){// sum=sum+(int)pow(10.0,j-1)*f[i][j];printf("%3d ",f[i][j]);}printf("\n");// printf("%d ",sum); }printf("\n");}return 0; }
上面的代码中，$f[i][j]$表示$i$这一位，所有交换中，在$j$位出现了几次；答案就是$\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {s[i]×\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {f[i][j]×{{10}^{j - 1}}} } \right)} \right)} $。
输出来看一下$n=10$和$n=11$时候的情况，看看$f[i][j]$有没有什么规律：
通过观察可以发现：
$[1].$每一行的和都是一样的，$n=x$时，每一行的和$cnt[x]$都是一样的，并且$cnt[x]=x+cnt[x-1]$。
$[2].$第$i$行的贡献${\sum\limits_{j = 1}^n {f[i][j]×{{10}^{j - 1}}} }$可以由第$i-1$行的贡献${\sum\limits_{j = 1}^n {f[i-1][j]×{{10}^{j - 1}}} }$递推而来。
也就是说，我们可以$O(n)$效率得到每一位的贡献，然后乘上输入的那个权值就是答案了。
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<vector> #include<map> #include<set> #include<queue> #include<stack> #include<iostream> using namespace std; typedef long long LL; const double pi = acos(-1.0), eps = 1e-8; void File() {freopen("D:\\in.txt", "r", stdin);freopen("D:\\out.txt", "w", stdout); } template <class T> inline void read(T &x) {char c = getchar(); x = 0; while (!isdigit(c)) c = getchar();while (isdigit(c)) { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); } }const LL mod = 1e9 + 7; const int maxn = 100010; LL a[maxn], cnt[maxn], POW[maxn], sPOW[maxn], num[maxn]; char s[maxn]; int n;int main() {cnt[1] = 1; for (int i = 2; i <= 100000; i++) cnt[i] = (cnt[i - 1] + i) % mod;POW[0] = 1; sPOW[0] = 1;for (int i = 1; i <= 100000; i++){POW[i] = (LL)10 * POW[i - 1] % mod;sPOW[i] = (sPOW[i - 1] + POW[i]) % mod;}while (~scanf("%d%s", &n, s)){memset(num, 0, sizeof num);memset(a, 0, sizeof a);num[0] = (cnt[n] - (n - 1) + mod) % mod;a[0] = (num[0]*POW[0] % mod + (sPOW[n - 1] - sPOW[0] + mod) % mod) % mod;int L = 1, R = n - 1;for (int i = 1; i < n / 2; i++){L++, R--; num[i] = (num[i - 1] - (R - L + 1) + mod) % mod;a[i] = (a[i - 1] + sPOW[R] - sPOW[L - 1] + mod) % mod;a[i] = (a[i] + ((num[i] - i + mod) % mod)*POW[i] % mod) % mod;a[i] = (a[i] - (((num[i - 1] - i + mod) % mod)*POW[i - 1] % mod) + mod) % mod;}num[n - 1] = num[0];a[n - 1] = (num[n - 1] * POW[n - 1] % mod + sPOW[n - 2]) % mod;L = 0, R = n - 2; LL d = 1;for (int i = n - 2; i >= (n ) / 2; i--){L++, R--; num[i]= (num[i + 1] - (R - L + 1) + mod) % mod;a[i]= (a[i + 1] + sPOW[R] - sPOW[L - 1] + mod) % mod;a[i] = (a[i] + ((num[i] - d + mod) % mod)*POW[i] % mod) % mod;a[i] = (a[i] - (((num[i + 1] - d + mod) % mod)*POW[i + 1] % mod) + mod) % mod;d++;}LL ans = 0;for (int i = 0; s[i]; i++) ans = (ans + (LL)(s[i] - '0')*a[n-i-1] % mod) % mod;cout << ans << endl;}return 0; }