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指导老师：王晶晶
引言
矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学
习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用
[1-10]
，起着非常重要的作用，
能够把要处理的问题简单化
[9]
，
本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对
其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.
1
矩阵的等价与相似及其合同的基本概念
1.1
矩阵等价的定义
[1]
定义
1.1
如果矩阵
A
可以有矩阵
B
经过有限次初等变换得到，称
A
与
B
是等价
的.
由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：
定义
1.2
如果
n
阶矩阵
A
可以由
n
阶矩阵
B
进过有限次初等变换得到，则称
A
与
B
是等价的.
根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描
述：
定义
1.3
设矩阵
A
,
B
为
n
阶矩阵，
如果存在
n
阶可逆矩阵
P
和
Q
,使得
B
P
AQ
,
则称矩阵
A
与
B
等价，记作
A
∽
B
.
1.2
矩阵相似的定义
[2]
定义
1.4
设矩阵
A
，
B
为
n
阶矩阵，如果存在一个是
n
阶可逆矩阵
P，使得
B
AP
P
1
,则称矩阵
A
与矩阵
B
相似，记作
A
～
B
.
1.2.1
n
阶矩阵的相似关系，具有下列性质
[3]
:
性质
1.1
反身性，即任一
n
阶矩阵
A
与自身相似.
性质
1.2
对称性，即如果
A
～
B
，则
B
～
A
.
性质
1.3
传递性，如果
A
～
B
，
B
～
C
，则
A
～
C
.
性质
1.4
P
A
k
AP
P
k
P
A
k
A
k
P
2
2
1
1
2
2
1
1
1
)
(
.
(
2
1
,
k
k
是任意常数)