1 动态规划简介

        动态规划主要用来解决最优化的问题，所以看到求解“最**”的问题时可以先往动态规划考虑下是否可行。

        使用动态规划解决最优化的问题的两个要素：

        第一：具有最优子结构，即问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，且这些个子问题可以独立求解。所谓的独立求解就是子问题之间是相互独立的，反例见《算法导论3rd-p218》。

        第二：子问题重叠，即可用备忘录优化穷举过程。

1.1 最优子结构

        如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，就称此问题具有最优子结构。可用子问题的最优解来构造原问题的最优解。   

1.2 重叠子问题

        子问题的空间应该是足够的小，即问题的递归算法会反复求解“相同”的子问题，而不是一直生成“新”的子问题。

        如果递归算法反复求解相同的子问题，就称最优化的问题具有重叠子问题的性质。

        针对重叠子问题就可以使用备忘录进行剪枝操作，防止对相同子问题的重复求解。

2 动态规划的两种实现方法

        动态规划主要有两种实现方式：

2.1 从上到下的实现方式

        此种方式是将大问题逐步的转化为小问题，并且在这个转化过程中会出现一些对小问题的重复求解，这个时候就是用备忘录进行剪枝操作，从而缩短执行时间。

        此种方式的实现就是靠“递归”来完成的，需要仔细考虑递归的出口。

2.2 从下到上的实现方式

        此种方式是先求解小问题，然后由已知的小问题的解来构建大问题的解，也就是说在求解大问题的解之前，小问题的解已经被提前计算了出来。此种实现方式也就不会出现子问题的重复求解的过程，所以这个动态规划的实现方式，可以将备忘录优化掉，更换成几个变量来保存上一步的结果即可。

        此种实现方式还有些不同的地方就是需要找到一个base case，其实也就是最小的那个子问题的解。

2.3 两种方法的一些对比

2.3.1 备忘录        

        两种方法都需要定义备忘录(从下到上可以优化掉备忘录，但是理解这个优化过程还需要引入备忘录)，所以就一个非常重要的点就是“如何明确这个备忘录所表示的含义”。

        例如：LeetCode-1143-字符串-子序列-最长公共子序列_hclbeloved的博客-CSDN博客

        中dp[i][j]的定义。

2.3.2 实现方式

        从上到下使用的是递归，从下到上使用的是迭代。

        在做题的过程你会发现，如果使用的是从上到下的动态规划求解时，你也可以使用dfs进行解决，dfs本质上其实就是回溯，但是它的效率还不如动态规划高。

        注意：从上到下的动态规划使用的是递归，而dfs常常使用的也是递归。

        这里给出一个例子：字符串的交织 力扣

        方法一：使用dfs，具体代码如下：

    bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) {// 方法一：递归，对字符串“从前到后”进行扫描，超出时间限制// 为了缩短时间，可将方法一中的“对字符串从前向后扫描的递归”改为“对字符串从后向前扫描的递归”，// 并配合备忘录的剪枝操作，形成从上到下的动态规划，具体参考方法二return dfs(s1,s2,s3,0,0,0);}bool dfs(const string& s1, const string& s2, const string& s3, int index1, int index2, int index3){if ((s1.length()-index1)+(s2.length()-index2) != (s3.length()-index3))return false;if  (index1 == s1.length())return s2.substr(index2) == s3.substr(index3);else if (index2 == s2.length())return s1.substr(index1) == s3.substr(index3);if (s1[index1] != s3[index3] && s2[index2] != s3[index3])            return false;if (s1[index1] == s3[index3]){if (s2[index2] != s3[index3]){return dfs(s1,s2,s3,index1+1,index2,index3+1);}return (dfs(s1,s2,s3,index1+1,index2,index3+1) || dfs(s1,s2,s3,index1,index2+1,index3+1));}else{return dfs(s1,s2,s3,index1,index2+1,index3+1);}        }

方法二：从上到下的动态规划

    vector<vector<int>> dp;bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) {// 方法一：递归，对字符串“从前到后”进行扫描，超出时间限制// 为了缩短时间，可将方法一中的“对字符串从前向后扫描的递归”改为“对字符串从后向前扫描的递归”，// 并配合备忘录的剪枝操作，形成从上到下的动态规划，具体参考方法二// return helper(s1,s2,s3,0,0,0);// 方法二：从上到下的动态规划，配合记录进行剪枝，此时对字符串的扫描是从后向前// dp[i][j]: 表示s1的前i个字符和s2的前j个字符是否可以交织得到s3// -1: 未初始化；0: s1和s2交织无法得到s3；1: s1和s2交织可以得到s3int n1 = s1.length(), n2 = s2.length(), n3 = s3.length();if (n1+n2 != n3)return 0;if (dp.empty())dp.assign(n1+1, vector<int>(n2+1, -1));do{if (-1 != dp[n1][n2])break;if (s1.empty()){dp[n1][n2] = (s2 == s3 ? 1 : 0);break;}else if (s2.empty()){dp[n1][n2] = (s1 == s3 ? 1 : 0);break;}if (s1.back() != s3.back() && s2.back() != s3.back())         {dp[n1][n2] = 0;break;}if (s1.back() == s3.back()){if (s2.back() != s3.back())dp[n1][n2] = isInterleave(s1.substr(0,n1-1), s2, s3.substr(0,n1+n2-1));elsedp[n1][n2] = isInterleave(s1.substr(0,n1-1), s2, s3.substr(0,n1+n2-1)) || isInterleave(s1, s2.substr(0,n2-1), s3.substr(0,n1+n2-1));}else{dp[n1][n2] = isInterleave(s1, s2.substr(0,n2-1), s3.substr(0,n1+n2-1));}            }while(0);return dp[n1][n2];}

        子序列的数目：LeetCode-097-字符串-子序列-子序列的数目_hclbeloved的博客-CSDN博客

这个题目同样也有类似的解答，大家可以在力扣上找找，有很多题目存在类似的情况。