本文为吴恩达机器学习课程的笔记系列第三篇，主要关于机器学习应用时如何诊断偏差和方差，从而对机器学习系统实施相应的解决方法，以及介绍设计机器学习系统时的设计方法与评价指标。

应用机器学习

在机器学习中，如何降低模型的预测误差，提高模型的预测精度，是我们一直都希望解决的问题。我们往往会采取如下的手段：

1. 获得更多的训练样本。
2. 尝试减少特征的数量
3. 尝试获得更多的特征
4. 尝试增加多项式特征
5. 尝试减少正则化程度$\lambda$
6. 尝试增加正则化程度$\lambda$

这些方法并不是随机选择的，我们要根据实际场景（如偏差、方差问题）来进行选择。

数据集的划分

• 训练集 ：60%，用于训练出多个模型。
• 验证集（交叉验证集）：20%，用于计算交叉验证误差（也就是代价函数$J(\theta )$），选择代价函数值最小的模型。
• 测试集：20%，对选中的模型计算泛化误差，用于评估模型的泛化（generalize）能力。

诊断偏差和方差

机器学习中，偏差(bias) 指预测结果与真实值之间的差异，偏差反映模型无法准确表达数据关系。方差（variance） 是指多个(次)模型输出的结果之间的离散差异，方差反映了模型对训练集过度敏感，而丢失了数据规律。

• 高偏差——欠拟合

• 高方差——过拟合

多项式拟合中的偏差与方差

我们知道，对于训练集，当多项式次数 $d$ 越小时，模型拟合程度越低，误差越大；$d$ 越大时，模型拟合程度越高，误差越小。而对于交叉验证集，多项式次数 $d$ 越小时，模型拟合程度同样越低，误差越大；而随着 $d$ 的增长，误差呈现先减小后增大的趋势。因为此时多项式次数较高，训练误差很低，模型容易过拟合，对交叉验证集的数据泛化能力较差，交叉验证集的误差很高，此时的误差就属于方差。而当多项式次数较低时，不管是训练集还是交叉验证集，误差都很高，此时的误差就属于高偏差，因为此时模型容易欠拟合。

下图就是训练集、交叉验证集误差随多项式次数 $d$ 的变化规律

正规化中的偏差与方差

在线性回归和逻辑回归的学习中，我们知道通过引入正则化的手段可以防止模型过拟合。而正则化惩罚力度的大小（也就是 $\lambda$ 的取值大小）也会对模型的误差产生类似上述多项式拟合的影响。

下图反映训练集和交叉验证集模型的代价函数误差与 $\lambda$ 的值的变化规律：

当 $\lambda$ 较小时，正则化惩罚力度较小或几乎没有，此时模型对训练集的拟合程度还是较高，误差还是较小，而应用到交叉验证集的误差就较大（因为过拟合）。

随着 $\lambda$ 的不断增大，正则化惩罚力度不断加大，模型的对训练集的拟合程度逐渐降低，趋于欠拟合，训练集误差不断增大，而对于交叉验证集，误差会先减小后增大，因为模型会从过拟合逐渐达到一个最佳的拟合程度，也就是图中的转折点，在这之后模型趋于欠拟合时，误差自然就增大了。

神经网络中的偏差方差

当神经网络的结构较为简单时，也就是隐藏层数较少，则容易出现高偏差，但是计算代价较小；

当神经网络的结构较为复杂时，也就是隐藏层数较多，则容易出现高方差，虽然计算代价也比较大，但此时可以通过增大 $\lambda$ 来解决。

学习曲线

学习曲线（Learning Curves）可以用来判断一个学习算法是否处于偏差、方差问题。学习曲线是将训练集误差和交叉验证集误差作为训练集样本数目 $m$ 的函数绘制的图表。

当样本数 $m$ 较小时，模型在训练集上容易拟合，训练集误差较小，但交叉验证集的误差较大（发现不了数据的规律）；随着 $m$ 的增大，模型拟合难度会增大，训练集误差也开始增大，而交叉验证集的误差会降低，因为样本数多，模型的学习能力增强，更能发现数据规律。

下图反映了样本数目 $m$ 对训练集误差和交叉验证集误差的影响：

如果模型出现高偏差（欠拟合），增加再多的样本数，仍无法有效降低交叉验证集的误差。

如果模型出现高方差（过拟合），当交叉验证集误差远大于训练集误差时，此时若增加样本数，对降低交叉验证集的误差有一定帮助。

总结

方法	适用场景
获得更多的训练样本	解决高方差
尝试减少特征的数量	解决高方差
尝试获得更多的特征	解决高偏差
尝试增加多项式特征	解决高偏差
尝试减少正则化程度$\lambda$	解决高偏差
尝试增加正则化程度$\lambda$	解决高方差

机器学习系统的设计

设计方法

1. 先快速实现一个简单的算法，并用交叉验证集数据测试这个算法。
2. 绘制学习曲线，根据图像判断存在的是哪些问题，是高偏差还是高方差？从而决定是增加更多数据，还是添加更多特征，还是其它方案。
3. 进行误差分析，人工检查交叉验证集中我们算法中产生预测误差的样本。

评价指标

单纯的使用误差并不能全面的评价模型的好坏，因为对于样本不平衡的数据集（比如正样本过多，负样本太少，即数据集非常偏斜），用预测准确率来评估算法优劣是不准确的。所以引入下面两个重要的评价指标：查准率（Precision）、查全率（Recall）。

首先定义：

• Positive：表示预测的样本为真。
  • True Positive 正确肯定：预测为真，实际为真
  • False Positive 错误肯定：预测为真，实际为假
• Negative：表示预测的样本为假。
  • True Negative 正确否定：预测为假，实际为假
  • False Negative 错误否定：预测为假，实际为真

实际值 \预测值	预测Positive	预测Negtive
实际Positive	TP	FN
实际Negtive	FP	TN

查准率（Precision）

• $P=\frac{TP}{TP+FP}$

查全率（Recall）

• $R=\frac{TP}{TP+FN}$

为了更好的权衡两个指标，我们使用 ${\mathbf{F}}_1\mathbf{S}\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{e}$ 来综合两个指标：

• $F_{1}Score：2\frac{PR}{P+R}$

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