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1.两个数，M，N，且1<m<n<99.老师告诉学生A两数之和，告诉学生B两数之积，
A：我不知道N和M是什么，但是B一定也不知道
B：我知道N和M是什么了！
A：我也知道N和M是什么了！
求 N，M
答案：4，13
2.数学老师把一个二位数n的因数个数告诉了学生S，
把n的各个数字的和告诉了学生P。
聪明的学生S和学生P希望推导出n的准确值，于是S和P进行了以下的对话：
P：「我不知道n是多少。」
S：「我也不知道n是多少，但我知道n是否为偶数。」
P：「我现在知道n是多少了。」
S：「现在我也知道n是多少了。」
老师证实S和P都是诚实可信的，他们每一句话都是有根据的。
请问n的值为何？
答案:
P:p,S:s
1___P：「我不知道n是多少。」可推出N不是10 和 99
2___S：「我也不知道n是多少，但我知道n是否为偶数。」
1.若为奇数，s=2，是质数，
2.若为偶数，s>6，45，63，奇数最多有6个因子
3___P：「我现在知道n是多少了。」
若p=2，P可推出是 11----------------------------------------√
若p=3，P可推出是30------------------------------------------√
若p=4，P可推出是40，31，13------------------------------×
若p=5，P可推出是41，23------------------------------------×
若p=6，P可推出是60，24------------------------------------×
若p=7，P可推出是43，70，61------------------------------×
若p=8，P可推出是80，53，71，17------------------------×
若p=9，P可推出是54，90，36，72------------------------×
若p=10，P可推出是19，91，37，73，64-----------------×
若p=11，P可推出是56，92，29，83，47-----------------×
若p=12，P可推出是66，48，84 ----------------------------×
若p=13，P可推出是67----------------------------------------√
若p=14，P可推出是59----------------------------------------√
若p=15，P可推出是96，87-----------------------------------×
若p=16，P可推出是88，97，79-----------------------------×
若p=17，P可推出是98，89-----------------------------------×
4___S：「现在我也知道n是多少了。」
则s为偶数，（若为奇数，S不可能推出），N只能是30
3.一人从地球上A点出发，先往南走1000千米，再往东走1000千米，再往北走1000千米，最后回到A点。求A点的位置。
答案：不止一点。详细答案文字难以表述
4.考你的心理与智商，5个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都一样的大小和价值连城。他们决定这么分：
1． 抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5）
2． 首先，由1号提出分配方案，然后大家5人进行表决，当且仅当超过半数的人同意 时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。
3． 如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。
4． 以次类推
条件： 每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。
问题：第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？
自己97个 4号2个 3号1个 一定能过
原因是 ：倒过来推 当只剩下4号5号的时候 4号就算只拿一个 5号也会反对 因为题目要求赞同人数要过半 5号不同意 那么赞同人数不能过半 4号一定会死 那么推前一个 3号只要分给4号0个给5号0个 4号就不得不赞同3号 因为如果3号死了 那么4号就一定死再往前推 因为3号可能会有最大利益100个 所以2号的决定他一定会反对 那么2号只能收买2个人就是4号和5号 如果2号死了按照3号方案 5号就会一个都拿不到 所以2号只要给5号1个就可以 而给4号1个（就是比3号一定会给4号的方案多一个） 这时候2号本身有98个
在已知以上情况后 1号可以收买3号和4号 给3号1个给4号2个（比2号的方案各多1个）
5.有12个颜色大小一模一样的小球，已知其中只有一只重量有些微差别（提示：但并不知到底是重还是轻哦），现在用一个没有砝码的天平， 在称三次内把这个特殊的小球找出来。
答案：
1。先编号。1，2，3，。。。。。。。。。。。。
2。天平左边放1，2，3，4右边放5，6，7，8
若平衡，坏球在9，10，11，12中，左边9，1右边10，11
若平衡 ，12是坏球，再称一次，知道是轻还是重。
若左边重，则9重或10，11轻，再称9，10和1，2
若左边轻，则9轻或10，11重，再称9，10和1，2
若左边沉，则1，2，3，4重，或5，6，7，8轻，左边1，2，5右边3，4，6
若平衡，则7轻或8轻，再称一次可判断
若左边重，则1，2重或6轻。再称1，6和9，10
若左边轻，则5轻或3，4重，再称3，5和9，10
若左边轻，同 左边重
【问题描述】
十三个球看上去一模一样，但其中一个质量不同（不知道是重了还是轻了），现在有一个天平，要求给出一种操作的方法，使得在不超过三次之内把这个球找出来（排除一切偶然情况），给出必胜策略。
【推广到N个小球】
有N个小球外形无区别，但是有一个在质量上与其他的球不一样。用天平称最少m次一定将不同的球找出来。显然随N增大，m不会减小。现在想解决的问题是对于任何给定的次数m,找出在该次数下能解决的最大的N值,用Nmax来表示。并给出对应于(Nmax,m)的一种解法。
【关于所能解决的上限】
现在来求m次所能解决的上限Nmax(m)问题。
为解决这个问题，我们给出几个引理。
引理一：无论加上什么其他的附加条件，只要k个球中的任一个都有可能是坏球（概率不为0），则当k>3^L时，称L次是称不出来的。这里的附加条件包括已知坏球是否重于好球,除k个未知球外还提供若干个标准球，以及k个球中某些的质量和大于另外一些的和等等，只要在这些条件下k个球中的任一个都还有可能是坏球就可以是引理所说的附加条件。
证明：很显然，若k>3^L，则哪个球是坏球一共有k中情况，而称L次一共有3^L种情况，若k>3^L知不可能一定分辨出哪个球是坏球。
引理二：如果另外在提供任意多个标准球（即在N个未知球外还任给标准球作"砝码"用）?br /> 则称m次最多能从N1max(m)=(3^m+1)/2个球中找出坏球来。
证明：对该引理的证明可以采用数学归纳法。
当m=1时，显然若只有两个球，则任挑一个与另外的标准球比较（额外提供的，不是两个中的），若相等则是剩下那一个，若不等则是这一个。所以N1max(1)>=2。而对于三个球的情况，如果第一次称用了两个或三个未知球，则无法判断出用过的球中谁是坏球（只称一次），而如果第一次称只用了一个未知球，则剩下
的两个球无法区分。因此一次不能解决三个球的问题。所以N1max(1)<3。
由N1max(1)<3和N1max(1)>=2知，N1max=2。
设当m<=k-1时命题都成立，则考虑m=k的情况。
第一次称不能使用超过3^(k-1)个未知球，否则如果坏球在这超过3^(k-1)个
球中的话，由引理一，在剩下的(k-1)次中不能肯定找出这个坏球来?br /> 另外，若第一次称碰到的都是好球，则第一次称后的结果就是多提供了一些标准球（这个结果对已经提供了任意个标准球的情况是毫无意义的）和缩小坏球的范围到剩下的球中。由归纳假设，剩下的球的数目不超过N1max(k-1)才能保证一定能称出来。所以：N1max(k)<=3^(k-1)+N1max(k-1)=(3^k+1)/2。
如果有(3^k+1)/2个未知球，则第一次将3^(k-1)个未知球和提供的3^(k-1)个未知球比较：如果相等，则坏球在剩下的N1max(k-1)个中，由归纳假设能分出来；如果不等，则坏球在这3^(k-1)个中，但是同时知道了坏球是轻还是重，由三分法可以很容易用k-1次找出来。所以对于(3^k+1)/2个未知球的情况，是能够用k次找出坏球来的。即N1max(k)>=(3^k+1)/2.
由前面的推导知，N1max(k)=(3^k+1)/2。所以m=k时命题也成立。
由数学归纳法,所以N1max(k)=(3^k+1)/2对所有的自然数k都成立。
引理二得证。
引理三：Nmax(m)<=(3^m-1)/2。(m>=2)
证明：在原来的称小球问题中，起初没有提供标准球，所以第一次称的数目必须是偶数，由和引理二中推导N1max(m)时类似，有如下结论：
Nmax(m)<=N1max(m-1) + [3^(m-1)-1]
^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^
若第一次称平衡了最多剩下的球数 第一次称最多使用的球数，必须是偶数
所以Nmax(m)<=(3^m-1)/2=N1max(m)-1。命题得证。
到此为止，我们求出了称小球问题的一个上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2。（m>=2)
在后面我们将证明这是一个上确界，即Nmax(m)=(3^m-1)/2。
对于m=1的情况，由于必须有两个以上球（否则无所谓好坏球），所以一次是怎么也称不
出来的，因此我们不讨论m=1的情况。
【m次称出(3^m-1)/2个球的解法 】
对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。
首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很
简单，在此略去?br /> 其次，若m?lt;=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。
现在来考虑m=k的情况。
第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则：
如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于
[3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数?br /> 所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球
的情况，由前面的引理二可知
对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。
如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C.
则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。
第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边?br /> 3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。
如果左边大于右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中质量大的为坏球；
如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中质量轻
的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两
次共k次解决。
如果左边小于右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样
数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2).
用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时
只需拿A球和标准球比较以下就行了。
因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。
由以上两步加上数学归纳法知，对于N(m)=(3^m-1)/2的情况，称m次是可以称出来的。
由这个解法加上前面所给出的上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2，知称m次能解决的最大的小球数
Nmax(m)=(3^m-1)/2。