一、红黑树的概念

红黑树是一种二叉搜索树，在其每个节点上增加一个存储位用于表示节点的颜色，可以是Red或Black

通过对任何一条从根到叶子的路径上的各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径比其他路径长两倍

红黑树的性质：
①每个结点的颜色不是红色就是黑色

②根节点是黑色的

③如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点是黑色的（不能出现连续的红色节点）

④对于每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含数量相同的黑色节点（每条路径上都有相同数量的黑色节点）

路径的计算必须最终指向空

红黑树的最短路径：路径上所有节点的颜色都为黑色

              最长路径：路径上节点黑红相间，一黑一红

假设黑色节点总共有N个，整棵树的节点数量在[N，2N]之间

最短路径长度为：logN        最长路径长度为：2logN

红黑树通过规则的约束，使得最长路径的搜索长度不超过最短路径搜索长度的二倍

二、红黑树节点的定义

红黑树节点中包括指向左右孩子以及父节点的指针，当前节点的颜色与存储数据

红黑树节点的构造中默认设置新插入节点的颜色为红色

是因为如果插入节点颜色为黑色，那么一定会违背上面描述红黑树性质中的第四条（每条路径上都有数量相同的黑色节点）。因此为了最大程度减少对原本红黑树的影响，默认颜色为红色

enum Colour
{RED,BLACK,
};template<class T>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<T>* _lef;RBTreeNode<T>* _right;RBTreeNode<T>* _parent;T _data;Colour _col;//节点的构造默认颜色为红色RBTreeNode(const T& data):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_col(RED),_data(data){}
};

三、红黑树的插入

红黑树是在二叉搜索树的基础上增加平衡限制条件，红黑树的插入因此可以分为两步：①按照二叉搜索树的规则插入新节点，即找位置，插入，调整②插入新节点之后，判断红黑树的性质是否遭到破坏

由于新节点默认为红色，因此如果其双亲节点为黑色，则并不违反红黑树的性质，则不需要调整

如果双亲节点为红色，则会出现连续的红色节点。违反红黑树的性质，需要调整。此时需要分情况讨论

假设当前节点为cur，其父节点为parent，其叔叔节点为uncle，其祖父节点为grandparent

情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

此时已经出现连续的红色节点，因此需要进行调整。保持插入节点cur颜色不变，改变其祖宗节点颜色

如果g是根节点，则需要将g的颜色改为黑色

如果g不是根节点，则g一定具有父亲节点。如果g的父亲节点也为红色，则继续向上调整颜色

为什么不能直接修改cur的颜色，而是向上调整？

是由于如果插入节点cur的颜色直接改为黑色，则很有可能导致路径上黑色节点的数量不同，同样导致不满足红黑树的性质。一般情况下插入红色对红黑树的影响最小

以上图调整前为例。如果将cur的颜色变为黑色，则g从左子树到达叶子节点的黑色节点数量为1，而右子树到达叶子节点的黑色节点数量为0

情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在并且为黑

情况二一般是由情况一变化而来

其中cde都可以是子树，其形状均有四种可能性，如下

因此在新插入节点并进行了一次调整后，出现u存在且为黑的情况。需要进行右单旋与变色

u不存在的情况与存在且为黑色的处理完全类似。只是u存在为单旋，不存在是双旋 

程序实现：

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;//节点的构造默认颜色为红色RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:~RBTree(){_Destroy(_root);_root = nullptr;}
public:Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (grandfather->_left == parent){Node* uncle = grandfather->_right;// 情况1：u存在且为红，变色处理，并继续往上处理if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 情况2+3：u不存在/u存在且为黑，旋转+变色{//     g//   p   u// c if (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//     g//   p   u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;//parent->_col = RED;grandfather->_col = RED;}break;}}else // (grandfather->_right == parent){//    g//  u   p//        cNode* uncle = grandfather->_left;// 情况1：u存在且为红，变色处理，并继续往上处理if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 情况2+3：u不存在/u存在且为黑，旋转+变色{//    g//  u   p//        cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else{//    g//  u   p//    cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);}bool IsBalance(){if (_root && _root->_col == RED){cout << "根节点颜色是红色" << endl;return false;}int benchmark = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK)++benchmark;cur = cur->_left;}// 连续红色节点return _Check(_root, 0, benchmark);}int Height(){return _Height(_root);}private:void _Destroy(Node* root){if (root == nullptr){return;}_Destroy(root->_left);_Destroy(root->_right);delete root;}int _Height(Node* root){if (root == NULL)return 0;int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;}bool _Check(Node* root, int blackNum, int benchmark){if (root == nullptr){if (benchmark != blackNum){cout << "某条路径黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == BLACK){++blackNum;}if (root->_col == RED&& root->_parent&& root->_parent->_col == RED){cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}return _Check(root->_left, blackNum, benchmark)&& _Check(root->_right, blackNum, benchmark);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppnode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (ppnode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* ppnode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}}private:Node* _root = nullptr;
};