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误差逆传播算法理论推导
误差逆传播算法（error back propagation）简称BP网络算法。而一般在说BP网络算法时，默认指用BP算法训练的多层前馈神经网络。
下面是一个简单的BP神经网络示意图。其拥有一个输入层，一个隐含层，一个输出层。推导中采用这种简单的三层的神经网络。
定义相关的一些变量如下：
- 假设有 d 个输入神经元，有 l 个输出神经元，q 个隐含层神经元；
- 设输出层第 j 个神经元的阈值为 θj ；
- 设隐含层第 h 个神经元的阈值为 γh ；
- 输入层第 i 个神经元与隐含层第 h 个神经元之间的连接权为 Vih ；
- 隐含层第 h 个神经元与输出层第 j 个神经元之间的连接权为 Whj ；
- 记隐含层第 h 个神经元接收到来自于输入层的输入为 αh：
-
记输出层第 j 个神经元接收到来自于隐含层的输入为 βj：
，其中 bh 为隐含层第 h 个神经元的输出
理论推导：
在神经网络中，神经元接收到来自来自其他神经元的输入信号，这些信号乘以权重累加到神经元接收的总输入值上，随后与当前神经元的阈值进行比较，然后通过激活函数处理，产生神经元的输出。
激活函数：
理想的激活函数是阶跃函数，“0”对应神经元抑制，“1”对应神经元兴奋。然而阶跃函数的缺点是不连续，不可导，且不光滑，所以常用sigmoid函数作为激活函数代替阶跃函数。如下图分别是阶跃函数和sigmoid函数。
阶跃函数：
sigmoid函数：
对于一个训练例（xk, yk），假设神经网络的输出为 Yk ，则输出可表示为：
f(***)表示激活函数，默认全部的激活函数都为sigmoid函数。
则可以计算网络上，（xk, yk）的均方差误差为：
乘以1/2是为了求导时能正好抵消掉常数系数。
现在，从隐含层的第h个神经元看，输入层总共有 d 个权重传递参数传给他，它又总共有 l 个权重传递参数传给输出层, 自身还有 1 个阈值。所以在我们这个神经网络中，一个隐含层神经元有（d+l+1）个参数待确定。输出层每个神经元还有一个阈值，所以总共有 l 个阈值。最后，总共有（d+l+1）*q+l 个待定参数。
首先，随机给出这些待定的参数，后面通过BP算法的迭代，这些参数的值会逐渐收敛于合适的值，那时，神经网络也就训练完成了。
任意权重参数的更新公式为：
下面以隐含层到输出层的权重参数 whj 为例说明：
我们可以按照前面给出的公式求出均方差误差 Ek ，期望其为0，或者为最小值。而BP算法基于梯度下降法（gradient descent）来求解最优解，以目标的负梯度方向对参数进行调整，通过多次迭代，新的权重参数会逐渐趋近于最优解。对于误差 Ek ，给定学习率（learning rate）即步长 η ，有：
再看一下参数的传递方向，首先 whj 影响到了输出层神经元的输入值 βj ，然后影响到输出值 Yjk ,然后再影响到误差 Ek ，所以可以列出如下关系式：
根据输出层神经元的输入值 βj 的定义：
得到：
对于激活函数（sigmoid函数）：
很容易通过求导证得下面的性质：
使用这个性质进行如下推导：
令：
又由于：
所以：
由前面的定义有：
所以：
把这个结果结合前面的几个式子代入：
， ，
得到：
所以：
OK，上面这个式子就是梯度了。通过不停地更新即梯度下降法就可实现权重更新了。
推导到这里就结束了，再来解释一下式子中各个元素的意义。
η 为学习率，即梯度下降的补偿；
为神经网络输出层第 j 个神经元的输出值；
为给出的训练例（xk, yk）的标志（label），即训练集给出的正确输出；
为隐含层第 h 个神经元的输出。
类似可得：
其中，
这部分的解法与前面的推导方法类似，不做赘述。
接下来是代码部分：
这段代码网上也有不少地方可以看到，后面会简单介绍一下程序。
完整程序：文件名“NN_Test.py”
# _*_ coding: utf-8 _*_import numpy as npdef tanh(x):return np.tanh(x)def tanh_derivative(x):return 1 - np.tanh(x) * np.tanh(x)# sigmod函数 def logistic(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# sigmod函数的导数 def logistic_derivative(x):return logistic(x) * (1 - logistic(x))class NeuralNetwork:def __init__ (self, layers, activation = 'tanh'):if activation == 'logistic':self.activation = logisticself.activation_deriv = logistic_derivativeelif activation == 'tanh':self.activation = tanhself.activation_deriv = tanh_derivative# 随机产生权重值self.weights = []for i in range(1, len(layers) - 1): # 不算输入层，循环self.weights.append((2 * np.random.random( (layers[i-1] + 1, layers[i] + 1)) - 1) * 0.25 ) self.weights.append((2 * np.random.random( (layers[i] + 1, layers[i+1])) - 1) * 0.25 )#print self.weightsdef fit(self, x, y, learning_rate=0.2, epochs=10000):x = np.atleast_2d(x) temp = np.ones([x.shape[0], x.shape[1]+1])temp[:, 0:-1] = xx = tempy = np.array(y)for k in range(epochs): # 循环epochs次i = np.random.randint(x.shape[0]) # 随机产生一个数，对应行号，即数据集编号 a = [x[i]] # 抽出这行的数据集# 迭代将输出数据更新在a的最后一行for l in range(len(self.weights)):a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l])))# 减去最后更新的数据，得到误差error = y[i] - a[-1]deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])]# 求梯度for l in range(len(a) - 2, 0, -1):deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T) * self.activation_deriv(a[l]) )#反向排序 deltas.reverse() # 梯度下降法更新权值for i in range(len(self.weights)):layer = np.atleast_2d(a[i])delta = np.atleast_2d(deltas[i])self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta)def predict(self, x):x = np.array(x)temp = np.ones(x.shape[0] + 1)temp[0:-1] = x a = tempfor l in range(0, len(self.weights)):a = self.activation(np.dot(a, self.weights[l]))return a
简要说明：
def tanh(x):return np.tanh(x)def tanh_derivative(x):return 1 - np.tanh(x) * np.tanh(x)# sigmod函数 def logistic(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# sigmod函数的导数 def logistic_derivative(x):return logistic(x) * (1 - logistic(x))
分别表示两种激活函数，tanh函数和sigmoid函数以及其的导数，有关激活函数前文有提及。
if activation == 'logistic':self.activation = logisticself.activation_deriv = logistic_derivativeelif activation == 'tanh':self.activation = tanhself.activation_deriv = tanh_derivative
“activation”参数决定了激活函数的种类，是tanh函数还是sigmoid函数。
self.weights = []for i in range(1, len(layers) - 1): # 不算输入层，循环self.weights.append((2 * np.random.random( (layers[i-1] + 1, layers[i] + 1)) - 1) * 0.25 ) self.weights.append((2 * np.random.random( (layers[i] + 1, layers[i+1])) - 1) * 0.25 )#print self.weights
以隐含层前后层计算产生权重参数，参数初始时随机，取值范围是[-0.25, 0.25]
x = np.atleast_2d(x) temp = np.ones([x.shape[0], x.shape[1]+1])temp[:, 0:-1] = xx = tempy = np.array(y)
创建并初始化要使用的变量。
for k in range(epochs): # 循环epochs次i = np.random.randint(x.shape[0]) # 随机产生一个数，对应行号，即数据集编号 a = [x[i]] # 抽出这行的数据集# 迭代将输出数据更新在a的最后一行for l in range(len(self.weights)):a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l])))# 减去最后更新的数据，得到误差error = y[i] - a[-1]deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])]# 求梯度for l in range(len(a) - 2, 0, -1):deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T) * self.activation_deriv(a[l]) )#反向排序 deltas.reverse() # 梯度下降法更新权值for i in range(len(self.weights)):layer = np.atleast_2d(a[i])delta = np.atleast_2d(deltas[i])self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta)
进行BP神经网络的训练的核心部分，在代码中有相应注释。
def predict(self, x):x = np.array(x)temp = np.ones(x.shape[0] + 1)temp[0:-1] = x a = tempfor l in range(0, len(self.weights)):a = self.activation(np.dot(a, self.weights[l]))return a
这段是预测函数，其实就是将测试集的数据输入，然后正向走一遍训练好的网络最后再返回预测结果。
测试验证函数：
# _*_ coding: utf-8 _*_from NN_Test import NeuralNetwork import numpy as npnn = NeuralNetwork([2, 2, 1], 'tanh') x = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]) y = np.array([0, 1, 1, 0]) nn.fit(x, y) for i in [[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]:print(i, nn.predict(i))
程序中测试的是异或关系，下面是运行结果：
([0, 0], array([-0.01628435])) ([0, 1], array([ 0.99808061])) ([1, 0], array([ 0.99808725])) ([1, 1], array([-0.03867579]))
显然与标准异或关系近似。