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损失函数是用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度。损失函数越好，通常模型的性能也越好。

损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数：

• 经验风险损失函数是指预测结果和实际结果的差别。
• 结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。

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交叉熵损失函数（Cross-entropy loss function）

本质上是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。

（1）二分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：

$$loss=-\frac{1}{n}\sum _x[y\ln a+(1-y)\ln (1-a)]$$

其中，$n$ 表示样本数量；$y$ 表示样本标签，如负标签为0，正标签为1；$a$ 表示模型输出（经过softmax或sigmoid），可以简单看做是预测为正样本的概率值，如0.71。

代码实现如下：

• 首先生成一个测试数据：

import torch
import torch.nn.functional as F y = torch.randint(0,2,size=(10,1)).to(torch.float)
p = torch.rand((10,1))print(y, p)

得到的数据集如下：

(tensor([[0.],[0.],[0.],[1.],[1.],[1.],[0.],[0.],[1.],[0.]]),tensor([[0.3630],[0.6427],[0.5496],[0.5975],[0.5041],[0.8786],[0.8593],[0.1009],[0.5567],[0.0720]]))

• 我们按照公式自己写了一个二分类的交叉熵损失函数：

def cross_entropy(y:torch.Tensor, p:torch.Tensor):return -torch.sum( y*torch.log(p) + (1-y)*torch.log(1-p) ) / len(y)print( cross_entropy(y, p) )

得到的结果为：

tensor(0.6335)

• 为了验证这个结果是否正确，我们使用pytorch自带的二分类交叉熵损失函数也做了计算：

F.binary_cross_entropy(p, y.to(torch.float))

得到的结果也是 tensor(0.6335)。

（2）多分类问题中的 loss 函数（输入数据也是经过softmax 或 sigmoid 函数的输出）：

$$loss=-\frac{1}{n}\sum _i{y}_i\ln a_i$$

$n$ 表示样本数量，当样本属于类别 $i$ 时，$y_i=1$，否则 $y_i=0$；$a_i$ 表示第 $y_i$ 的预测概率。

代码实现如下：

• 首先构建数据（需要注意：模拟多分类模型输出的a，这里没有做softmax计算，原因后边会解释）：

a = torch.randn(10, 3, requires_grad=True)
y = torch.randint(3, (10,), dtype=torch.int64)print(a, y)

得到数据如下：

tensor([[ 1.0158, -0.5252,  0.4688],[ 1.1140, -0.3159,  2.0729],[-0.3154, -0.7816,  0.7599],[-0.6543, -0.5513, -0.4667],[ 1.2306,  1.7470, -0.1128],[ 0.7115,  0.6078, -1.3790],[-0.9446,  0.7456, -0.2455],[-0.6758,  0.6414,  0.0501],[ 0.0048, -0.2063,  0.6877],[ 0.4730, -0.7138, -0.6765]], requires_grad=True) tensor([1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 0, 2])

• 我们根据公式，写了一个多分类交叉熵损失函数：

def cross_entropy(a, y):a = F.softmax(a)return -torch.sum(F.one_hot(y) * torch.log(a+0.000001)) / len(y)cross_entropy(a, y)

得到的结果是tensor(-1.6143, grad_fn=<DivBackward0>)。

我们首先将标签进行one-hot编码，这样可以直接与分类概率相乘。0.000001只是为了防止log计算出现bug。

我们将softmax计算放到了函数里。

• 作为验证，我们采用pytorch提供的API进行计算：

F.cross_entropy(a, y)

得到的结果是tensor(-1.6143, grad_fn=<DivBackward0>)。

python提供的API接口，内部进行了softmax 计算，所以给到该API的输入不要进行softmax计算！！！！