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news 2025/6/30 3:29:14

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文章目录

数字与编码 Number and Code
- 数字系统 Number System
- 数和编码 Number and Code

数字与编码 Number and Code

数字系统 Number System

组成
- 基 Base：不同数码个数。
- 系数 Coefficient：相当于每一位上出现的数码。
- 位权 Power：数码的个数。
进制转换
- 不同进制的数可以理解为多项式：
  $x=K1Rn+K2Rn−1+⋯+K0R0.K−1R−1+K−2R−2+⋯+K−mR−mx=K_1R^n+K_2R^{n-1}+\cdots+K_0R^0.K_{-1}R^{-1}+K_{-2}R^{-2}+\cdots+K_{-m}R^{-m}$
  
  注意：这个多项式是在十进制下表达的。
- 十进制转换成其他进制：
  - 前提条件：不同进制下不能混合运算，那么在什么时候实现的进制转换呢？
  - 对于整数部分：不断对 $R$ 取余，后除以 $R$ ，直到为 $0$ .
    
    对 $R$ 取余，除以 $R$ 都是在十进制下运算的，只是每一次的余数变成了 $R$ 进制。
  - 对于小数部分：不断乘以 $R$ ，后截取整数部分，直到为 $0$ ，或出现循环。
    
    也是只有在整数部分的时候才转换成了 $R$ 进制。
- 其他进制转换成十进制：
  - 每一位上乘以 $R^n$ .
    
    对于每一位上的数码，先转换成十进制，再在十进制下相乘。
- 所以，进制转换只能实现在数码到数码的转换，我们只是想办法提取每一位的数码。

数和编码 Number and Code

数和编码的区别
- 数无长度限制，数的编码有限。（否则会溢出 Overflow）
- 表达形式不同。（如负数的反码、补码）
群（为了更清楚的讲解编码，有必要引出“群”的概念）
- 一个集合及其二元运算（以下以‘+’代替）满足一下性质称为群。
  1. 封闭性： $∀a,b∈S,⇒a+b∈S\forall a,b \in S, \Rightarrow a+b\in S$ .
  2. 结合律： $(a + b) + c = a + (b + c)$ .
  3. 幺元（单位元）： $a+e=a,∀a∈S\exist e \in S,\textrm{s.t.} \ \ a+e=a, \forall a \in S$ .
  4. 逆元： $a+a−1=e,∀a∈S\exist a^{-1} \in S, \textrm{s.t.} \ \ a+a^{-1}=e, \forall a \in S$ .
    
    $s.t.\textrm{s.t.}$ ：使得……满足（subject to）
- 阿贝尔群：除了上述条件，还满足交换律。
- 群同构：存在同态映射 Homomorphism（ $x]_c+[y]_c=[x+y]_c$ ）
- 满足条件1,2：半群；满足条件1,2,3：幺半群。
带符号数编码（无符号数，编码和数相同）
- 目的：设计出一种同态映射的编码系统。
1. 符号幅度表示法 Sign Magnitude(SM)
  - 用最高位表示符号，剩下二进制位表示数的绝对值。
  - $n$ 位编码范围： $−(2n−1−1)∼(2n−1−1)-(2^{n-1}-1) \sim (2^{n-1}-1)$ .
  - 缺点
    - 不是一一映射， $0$ 有两种编码。
    - 很显然也不是同态映射，比如一正一负两数相加就不行。
    - 运算时要考虑很多情况，就只能靠硬件解决，消耗资源。
    - 实际上还是无符号数的运算。
2. 反码 1’s Complement
  - 正数编码不变，负数取反。（ $x+(-x)=2^n-1$ ）
  - 数和编码的转换（ $x < 0$ ）：
    - 数 $→\to$ 编码： $x_{one}=2^n-1-(-x)$ .
    - 编码 $→\to$ 数： $x=-(2^n-1-x_{one})$ .
  - $n$ 位编码范围： $−(2n−1−1)∼(2n−1−1)-(2^{n-1}-1) \sim (2^{n-1}-1)$ .
  - 是否满足同态映射：若 $x < 0, y < 0$ ，则
    $KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 19: …\begin{aligned}\̲ ̲ [x]_c+[y]_c&=…$
    （ $2^n-1$ 和 $2^{n+1}-1$ 在 $n$ 位编码下相同）
    
    因此可以通过适当的调整满足同态映射。
    
    同时可以发现，符号位也参与了运算，所以是带符号数运算。
  - 缺点：
    - $0$ 有两种编码：0000和1111（假设 $n = 4$ ）.
3. 补码 2’s Complement
  - 考虑到反码经过加1满足同态映射，所以试一试(?)补码=反码+1.
  - $x+(-x)=2^n$ .
  - $n$ 位编码范围： $−2n−1∼(2n−1−1)-2^{n-1} \sim (2^{n-1}-1)$ .
  - 数和编码的转换（ $x < 0$ ）：
    - 数 $→\to$ 编码： $x_{two}=2^n-(-x)$ .
    - 编码 $→\to$ 数： $x=-(2^n-x_{two})$ .
  - 是否满足同态映射：若 $x < 0, y < 0$ ，则
    
    和上面类似，显然满足 $x]_c+[y]_c=[x+y]_c$ .
    
    对于减法（计算机会先自动借位）
    $[x]c−[y]c=2n+1+[x]c−[y]c=2n+1+(2n−x)−(2n−y)=2n+1−(x−y)=[x−y]c\begin{aligned} [x]_c-[y]_c &=2^{n+1}+[x]_c-[y]_c \\ &= 2^{n+1}+(2^n-x)-(2^n-y) \\ &=2^{n+1}-(x-y) \\ &=[x-y]_c \end{aligned}$ 所以补码满足同态映射。
    而且对于减法，有
    $[x]c−[y]c=[x−y]c=[x+(−y)]c=[x]c+[−y]c\begin{aligned} [x]_c-[y]_c &=[x-y]_c \\ &=[x+(-y)]_c \\ &=[x]_c+[-y]_c \end{aligned}$ 因此内部可以直接保留加法器。
  - 优点：所有数与编码都是一一对应的。
溢出 Overflow：
- 无符号数：只要最高位发生进位就算溢出。
  - 无符号数有补码（在减法的时候会加相反数的补码），但无法判断是否有溢出。
- 有符号数：最高位是否有变化 $⟺\iff$ 是否有溢出。
  - 对于正负相加（最高位符号不同），显然不会溢出。
  - 只有正正相加、负负相加才可能会溢出，这时判断符号位是否有变化即可。

随机生成矩阵：生成不可逆矩阵的概率为0，但行列式可能非常小，从而接近不可逆矩阵。

大小关系判断：看 $a - b$ 的答案：
- 无符号数：
  - 若没有溢出（ $CF=0\text{carry flag, CF}=0$ ），则 $\geqslant b$ ；
  - 若溢出（ $CF=1\textrm{CF} = 1$ ），则 $a < b$ .
- 有符号数：
  - 若符号位等于溢出标志（ $OF\textrm{SF = OF}$ ），则 $\geqslant b$ ；（证明时分类讨论即可）
  - 若符号位不等于溢出标志（ $SF≠OF\textrm{SF}\neq \textrm{OF}$ ），则 $a < b$ .（可以同样用分类讨论，也可以用逆否命题）
$OF\textrm{OF}$ ：溢出标志， $SF\textrm{SF}$ ：符号位（运算结果最高位）