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本文只做简介，关于贝塞尔曲线和B样条曲线的详细介绍，请参考：详解样条曲线（上）（包含贝塞尔曲线）
部分图片来源于：https://zhuanlan.zhihu.com/p/344934774

一、贝塞尔曲线

讲之前，我们先看一张图：

这里的 P0、P1、P2 分别称之为控制点，贝塞尔曲线的产生完全与这三个点位置相关。

这也就意味着，我们可以通过调节控制点的位置，进而调整整个曲线。

那么，似乎最开始的控制点，也不一定是三个？如果是四个、五个，甚至更多呢？

如此一来，你会发现贝塞尔曲线内的递归结构。实际上，上述介绍的分别是三阶、四阶、五阶的贝塞尔曲线，贝塞尔曲线可以由阶数递归定义。

一个在线玩贝塞尔曲线的链接：在线玩贝塞尔曲线

下面直接给贝塞尔曲线的通用公式

假设一共有 $\mathrm{n}+1$ 个点 ${\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1,\cdots ,{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}$ ，这 $\mathrm{n}+1$ 个点确定了 $\mathrm{n}$ 次的贝塞尔曲线。
$n$ 阶贝塞尔曲线 $B^n(t)$ 可以由前 $n$ 个点决定的 $n-1$ 次贝塞尔曲线 $B^{n-1}\left(t\mid P_0,\cdots ,P_{n-1}\right)$ 与后 $n$ 个点决定的 $n-1$ 次贝塞尔曲线 ${\mathrm{B}}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{t}\mid {\mathrm{P}}_1,\cdots ,{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\right)$ 线性组合递推而来，即
$${\mathrm{B}}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{t}\mid {\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1,\cdots ,{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\right)=(1-\mathrm{t}){\mathrm{B}}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{t}\mid {\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1,\cdots ,{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-1}\right)+\mathrm{t}{\mathrm{B}}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{t}\mid {\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots ,{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\right)$$
且一次贝塞尔曲线，即为由两点决定的线段，也即
$${\mathrm{B}}^1\left(\mathrm{t}\mid {\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1\right)=(1-\mathrm{t}){\mathrm{P}}_0+{\mathrm{tP}}_1$$
可以得到 $\mathrm{n}$ 次贝塞尔曲线的表达通式为
$$B(t)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(1-t{)}^{n-i}{t}^i{P}_i$$

有了通用公式，我们就可以通过遍历t来离散化贝塞尔曲线了！

二、B样条曲线

几个概念

• 控制点: 也就是控制曲线的点，等价于贝塞尔函数的控制点，通过控制点可以控制曲线形状。假设有 $n+1$ 个控制点 ${\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots ,{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}$
• 节点: 这个跟控制点没有关系，而是人为地将目标曲线分为若干个部分，其目的就是尽量使得各个部分有所影响但也有一定独立性， 这也是为什么B样条中，有时一个控制点的改变，不会很大影响到整条曲线，而只影响到局部的原因，这是区别于贝塞尔曲线的一 点。节点划分影响到权重计算，可以预想到的是，实现局部性的影响的原理应该是在生成某区间内的点时，某些控制点前的权重值会 为 0 ，即对该点没有贡献，所以才有上述特点。事实上，就是如此的。先了解有这个概念即可。假设我们划分了 $m+1$ 个节点 ${\mathrm{t}}_0,{\mathrm{t}}_1,\cdots ,{\mathrm{t}}_{\mathrm{m}}$ ，将曲线分成了 $\mathrm{m}$ 段
• 次与阶：次的概念就是贝塞尔中次的概念，即权重中 $t$ 的最高幂次。而 阶=次 +1 。这里只需要知道次这个概念即可。假设我们用 $k$ 表示次，即 $\mathrm{k}$ 次。

B 样条曲线比贝塞尔曲线的设计要复杂许多，我们直接通过他们的公式大致比较一下贝塞尔曲线与 B 样条曲线的区别：

贝塞尔曲线

$$B(t)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(1-t{)}^{n-i}{t}^i{P}_i,t\in [0,1]$$

B样条曲线

对于 $n+1$ 个控制点 $P_0,P_1,\cdots ,P_n$ ，有一个包含 $m+1$ 个节点的列表 (或节点向量) $t_0,t_1,\cdots ,t_m$ ，其 $k$ 次 $B$ 样条曲线表达式为 (且 $m=n+k+1)$

$$\mathrm{P}(\mathrm{t})=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{i},\mathrm{k}}(\mathrm{t}){\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}$$

可以发现，B样条曲线的核心就是 ${\mathrm{B}}_{\mathrm{i},\mathrm{k}}(\mathrm{t})$ ，它被称为 k 次 B 样条基函数，也叫调和函数。

它满足如下递推式（deBoor递推式）：

$$\begin{array}{c}\mathrm{k}=0,{\mathrm{B}}_{\mathrm{i},0}(\mathrm{t})=\{\begin{array}{ll}1,& \mathrm{t}\in \left[{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}},{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}+1\right]\\ 0,& \text{ Otherwise }\end{array}\\ \mathrm{k}>0,{\mathrm{B}}_{\mathrm{i},\mathrm{k}}(\mathrm{t})=\frac{\mathrm{t}-{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}+\mathrm{k}}-{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{i},\mathrm{k}-1}(\mathrm{t})+\frac{{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}+\mathrm{k}+1}-\mathrm{t}}{{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}+\mathrm{k}+1}-{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}+1}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{i}+1,\mathrm{k}-1}(\mathrm{t})\end{array}$$

三、Python 代码实现B样条曲线离散化

import timeimport numpy as np
from matplotlib import pyplot as pltdef getB(i, k, t, T, B):'''获取B[i][k]的值:param i: B样条基函数矩阵行索引:param k: 当前阶数（B样条基函数矩阵列索引）:param t: 当前t值:param T: 节点值列表:param B: B样条基函数矩阵:return: B[i][k]的值'''if B[i, k] < 0:if k == 0:if T[i] <= t <= T[i + 1]:B[i, k] = 1else:B[i, k] = 0else:w1 = w2 = 0if T[i + k] - T[i] != 0:w1 = (t - T[i]) / (T[i + k] - T[i])if T[i + k + 1] - T[i + 1] != 0:w2 = (T[i + k + 1] - t) / (T[i + k + 1] - T[i + 1])B[i, k] = w1 * getB(i, k - 1, t, T, B) + w2 * getB(i + 1, k - 1, t, T, B)return B[i][k]def plot_spline(P, K, T):'''根据P、K、T绘制离散化的B样条曲线及其控制点:param P: 控制点列表:param K: B样条曲线阶数:param T: 节点值列表:return: None'''startTime = time.time()t = min(T)step = T[-1] / 100X, Y = [], []while t <= max(T):B = np.zeros((len(T) - 1, K + 1))B.fill(-1)x = y = 0for i in range(len(P)):b = getB(i, K, t, T, B)x += b * P[i][0]y += b * P[i][1]X.append(x)Y.append(y)t += stepprint("用时:", (time.time() - startTime), "s")plt.plot(X, Y, marker='o', label="fit point")plt.scatter([p[0] for p in P], [p[1] for p in P], color="red", label="control point")plt.legend()plt.show()if __name__ == '__main__':'''P: 控制点列表T: 节点值列表K: B样条曲线阶数'''# 测试案例1P = [[50, 50], [100, 300], [300, 100], [380, 200], [400, 600]]T = [0, 0, 0, 4 / 9, 5 / 9, 1, 1, 1]K = 2plot_spline(P, K, T)# 测试案例2P = [[2982.51, 9384.89], [3478.42, 4212.45], [9353.02, 6690.64], [4635.54, 1810.51], [12951.5, 5940.83],[7458.4, 10299.9], [14973.3, 7948.8], [8780.82, 11392.9], [14792.3, 10948.1]]T = [0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6]K = 3plot_spline(P, K, T)

控制台输出

用时: 0.001992940902709961 s
用时: 0.003986835479736328 s

结果展示

四、C++ 代码实现B样条曲线离散化

4.1 主要代码

// 递归填B表
double getBValue(int i, int k, double t, vector<double> kVector, vector<vector<double>> B){if (B[i][k] == NULL){if (k == 0){if (kVector[i] <= t && kVector[i + 1] >= t){B[i][k] = 1;}else{B[i][k] = 0;}}else{double w1 = 0;double w2 = 0;if (kVector[i + k] - kVector[i] != 0){w1 = (t - kVector[i]) / (kVector[i + k] - kVector[i]);}if (kVector[i + k + 1] - kVector[i + 1] != 0){w2 = (kVector[i + k + 1] - t) / (kVector[i + k + 1] - kVector[i + 1]);}B[i][k] = w1 * getBValue(i, k - 1, t, kVector, B) + w2 * getBValue(i + 1, k - 1, t, kVector, B);}}return B[i][k];
}// B样条曲线离散化
DXFPolyLineEntities splineDiscretization(DXFSpline spline){DXFPolyLineEntities poly = DXFPolyLineEntities();int K = spline.degree;// 获取kVectorvector<double> kVector(spline.kVector.size());for (int i = 0; i < spline.kVector.size(); i++){kVector[i] = spline.kVector[i].k;}// 根据函数获得离散点for (double t = kVector[0]; t <= kVector[spline.nKnots - 1]; t += (kVector[spline.nKnots - 1] / SPLINE_D)){double x = 0.0;double y = 0.0;// 初始化B表vector<vector<double>> B(spline.nKnots - 1, vector<double>(K + 1,NULL));// 遍历控制点集合for (int i = 0; i < spline.controlPointVector.size(); i++){// 已知 i,K,t, 推出B值double bValue = getBValue(i, K, t, kVector, B);x += (bValue * spline.controlPointVector[i].x);y += (bValue * spline.controlPointVector[i].y);}poly.vertex.push_back(DL_VertexData(x, y));}return poly;
}

4.2 其余类

//多段线实体对象
class DXFPolyLineEntities
{
public:vector<DL_VertexData> vertex;//顶点bool isclose;//闭合标志位
};

/*** Vertex Data.*/
struct DXFLIB_EXPORT DL_VertexData {/*** Constructor.* Parameters: see member variables.*/DL_VertexData(double px=0.0, double py=0.0, double pz=0.0,double pBulge=0.0) {x = px;y = py;z = pz;bulge = pBulge;}/*! X Coordinate of the vertex. */double x;/*! Y Coordinate of the vertex. */double y;/*! Z Coordinate of the vertex. */double z;/*! Bulge of vertex.* (The tangent of 1/4 of the arc angle or 0 for lines) */double bulge;
};

// 样条曲线对象
class DXFSpline
{
public:// 样条曲线的阶数int degree;// 节点数int nKnots;// 控制点数int nControl;// 拟合点数（如果有）int nFit;// 样条曲线标志（按位编码）// 1 = 闭合样条曲线;// 2 = 周期样条曲线;// 4 = 有理样条曲线;// 8 = 平面;// 16 = 线性（同时设置平面位）int flags;// 相切开始和结束点坐标double tangentStartX;double tangentStartY;double tangentStartZ;double tangentEndX;double tangentEndY;double tangentEndZ;// 控制点集合vector<DL_ControlPointData> controlPointVector;// 拟合点集合vector<DL_FitPointData> fitPointVector;// 节点值集合vector<DL_KnotData> kVector;
};

/**
* Spline control point data.
*/
struct DXFLIB_EXPORT DL_ControlPointData {/*** Constructor.* Parameters: see member variables.*/DL_ControlPointData(){}DL_ControlPointData(double px, double py, double pz, double weight) {x = px;y = py;z = pz;w = weight;}/*! X coordinate of the control point. */double x;/*! Y coordinate of the control point. */double y;/*! Z coordinate of the control point. */double z;/*! Weight of control point. */double w;
};

/**
* Spline fit point data.
*/
struct DXFLIB_EXPORT DL_FitPointData {/*** Constructor.* Parameters: see member variables.*/DL_FitPointData(){}DL_FitPointData(double x, double y, double z) : x(x), y(y), z(z) {}/*! X coordinate of the fit point. */double x;/*! Y coordinate of the fit point. */double y;/*! Z coordinate of the fit point. */double z;
};

/**
* Spline knot data.
*/
struct DXFLIB_EXPORT DL_KnotData {/*** Constructor.* Parameters: see member variables.*/DL_KnotData() {}DL_KnotData(double pk) {k = pk;}/*! Knot value. */double k;
};

4.3 离散效果展示（在CAD中展示）

案例1

案例2

案例3