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题意
给定一张边带权的无向图，求生成树的权值和是 k 的倍数的生成树个数模 p 的值。
\(n\leq 100,k\leq 100,p\mod k=1\)
Sol
看见整除然后 \(p\mod k=1\) ，那么可以套个单位根反演。
我们要求的东西就是:
\(\sum_{E}[k|(\sum_{e\in E}val_e)]\)
单位根反演一套:
\(\frac{1}{k}\sum_{E} \sum_{i=0}^{k-1} w_k^{(\sum_{e\in E}val_e)i}\)
然后又是常规操作:
\(\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{E} w_k^{(\sum_{e\in E}val_e)i}\)
\(\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{E} \prod_{e\in E} (w_k^{i})^{val_e}\)
把一条边的边权看作 \((w_k^{i})^{val_e}\) 矩阵树定理求一下就做完了。
code:
#include<bits/stdc++.h>
#define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int mod;
template <typename T> inline void init(T&x){x=0;char ch=getchar();bool t=0;for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);if(t) x=-x;return;
}
typedef long long ll;
template <typename T>inline void Inc(T&x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;return;}
template <typename T>inline void Dec(T&x,int y){x-=y;if(x < 0) x+=mod;return;}
template <typename T>inline int fpow(int x,T k){int ret=1;for(;k;k>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(k&1) ret=(ll)ret*x%mod;return ret;}
int Sum(int x,int y){x+=y;if(x>=mod) return x-mod;return x;}
int Dif(int x,int y){x-=y;if(x < 0 ) return x+mod;return x;}
const int N=101;
int n,m,k,p,g;
struct edge{int u,v,c;
}E[N*N];
namespace Matrix_Tree{int a[N][N];inline void Build(int w){Set(a,0);for(int i=1;i<=m;++i) {int u=E[i].u,v=E[i].v,c=E[i].c;int val=fpow(w,c);Dec(a[u][v],val),Dec(a[v][u],val);Inc(a[u][u],val),Inc(a[v][v],val);}return;}inline int Gauss(int n){int f=0;for(int i=1;i<=n;++i) {int p=i;for(int j=i;j<=n;++j) {if(a[i][j]) {p=j;break;}}if(p!=i) f^=1,swap(a[p],a[i]);int inv=fpow(a[i][i],mod-2);for(int j=i+1;j<=n;++j){if(!a[j][i]) continue;int t=Dif(0,(ll)a[j][i]*inv%mod);for(int k=i;k<=n;++k) Inc(a[j][k],(ll)a[i][k]*t%mod);}}int ret=1;for(int i=1;i<=n;++i) ret=(ll)ret*a[i][i]%mod;if(f) ret=Dif(0,ret);return ret;}
}
inline void Getroot(int mod){int x=mod-1;static int pri[50],cnt=0;for(int i=2;i*i<=x;++i) if(x%i==0) {pri[++cnt]=i,x/=i;while(x%i==0) x/=i;}for(g=2;;++g){bool fl=1;for(int i=1;i<=cnt;++i) if(fpow(g,(mod-1)/pri[i])==1) {fl=0;break;}if(fl)return;}
}
int main()
{init(n),init(m),init(k),init(p);mod=p;Getroot(mod);int u,v,c;for(int i=1;i<=m;++i){init(u),init(v),init(c);E[i]=(edge){u,v,c};}int W=fpow(g,(mod-1)/k);int w=1,ans=0;for(int i=0;i<k;++i,w=(ll)w*W%mod) {Matrix_Tree::Build(w);Inc(ans,Matrix_Tree::Gauss(n-1));}ans=(ll)ans*fpow(k,mod-2)%mod;cout<<ans<<endl;return 0;
}