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1 积分上限函数及其导数

1.1 定义

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且设$x为[a,b]$上的一点，则$f(x)$在部分区间$[a,x]$上的定积分

​ ${\int }_a^{x}f(x)dx$

$f(x)在区间[a,x]$依然连续，所以该定积分存在。

这里x即是积分上限，也是积分变量。因为定积分和积分变量的记法无关，为了明确期间，用积分变量t，则上述定积分为

​ ${\int }_a^{x}f(t)dt$

如果上限$x在区间[a,b]$上任意变动，那么对于任意一个确定的x，定积分有一个对应值，所以它在$[a,b]$上定义了一个函数，记做

​ $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt(a\le x\le b)$

我们称函数$\Phi (x)$为$f(x)在区间[a,b]$上的积分上限函数。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，任取$x\in [a,b]$,有

​ $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

则函数$\Phi (x)$为$f(x)在区间[a,b]$上的积分上限函数。

1.2 定理

定理1 如果函数$f(x)在区间[a,b]$上连续，那么积分上限函数

​ $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

在$[a,b]$上可导，并且它的导数

​ ${\Phi }^{{}^{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)(a\le x\le b)$

$$\begin{gathered} 设\exists x\in (a,b),设x+\Delta x\in (a,b)则 \\ \Phi (x+\Delta x)={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)dt,函数的增量为 \\ \Delta \Phi =\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt \\ ={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt,应用积分中值定理有 \\ \Delta \Phi ={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(\xi )\Delta x(x\le \xi \le x+\Delta x) \\ 上式两端除以\Delta x限得 \\ \frac{\Delta \Phi }{\Delta x}=f(\xi ) \\ 当\Delta x\to 0时，\xi \to x,上式端取极限，得\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta \Phi }{\Delta x}=f(x) \\ 当x=a,取\Delta x>0，则同理可证{\Phi }_{+}^{{}^{\prime }}(a)=f(a);若x=b,取\Delta x<0,同理可证{\Phi }_{-}^{{}^{\prime }}(b)=f(b) \end{gathered}$$

定理2(原函数存在定理) 如果函数$f(x)在区间[a,b]$上连续，那么函数

​ $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

就是$f(x)在[a,b]$上的一个原函数。

注：积分上限、下限可以是关于x的函数

• ${\int }_a^{\varphi (x)}f(t)dt=f[\varphi (x)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(x)$
• ${\int }_{\xi (x)}^{\varphi (x)}f(t)dt=f[\varphi (x)]{\varphi }^{{}^{\prime }}(x)-f[\xi (x)]{\xi }^{{}^{\prime }}(x)$
• $({\int }_a^{x}f(t)g(x)dt{)}^{{}^{\prime }}=(g(x){\int }_a^{x}f(t)dt{)}^{{}^{\prime }}=g^{{}^{\prime }}(x){\int }_a^{x}f(t)dt+g(x)f(x)$

例1 求$\frac{d}{dx}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$
$$\frac{d}{dx}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt=e^{x^2}$$
求$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\sqrt{1+t^4}dt$
$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\sqrt{1+t^4}dt=\sqrt{1+(x^2{)}^4}(x^2{)}^{{}^{\prime }} \\ =2x\sqrt{1+t^8} \end{gathered}$$
求$\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^4}dt$​
$$\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^4}dt=3x^2\sqrt{1+x^{12}}-2x\sqrt{1+x^8}$$
例2 求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_{\cos x}^1{e}^{-t^2}dt}{x^2}$
$$\begin{gathered} 该极限为\frac{0}{0}型未定式，应用洛必达法则 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_{\cos x}^1{e}^{-t^2}dt}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{-{\cos }^{2}x}\sin x}{2x} \\ =\frac{1}{2e} \end{gathered}$$
例3 设$y=y(x)$由参数方程
$$\{\begin{array}{l}x=1+2t^2\\ y={\int }_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du(t>0)\end{array}$$
所确定，求$\frac{dy}{dx}$
$$\begin{gathered} 解：\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx} \\ =({\int }_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du{)}^{{}^{\prime }}\cdot \frac{1}{4t}=\frac{2et}{1+2\ln t}\cdot \frac{1}{4t} \\ =\frac{e}{2(1+2\ln t)} \end{gathered}$$

例4 设$f(x)在[0,+\infty )$内连续，且$f(x)>0$,证明

​ $F(x)=\frac{{\int }_0^{x}tf(t)dt}{{\int }_0^{x}f(t)dt}$在$(0,\infty )$内单增。
$$\begin{gathered} 证明：F^{{}^{\prime }}(x)=\frac{({\int }_0^{x}tf(t)dt{)}^{{}^{\prime }}\cdot {\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt\cdot ({\int }_0^{x}f(t)dt{)}^{{}^{\prime }}}{({\int }_0^{x}f(t)dt{)}^2} \\ =\frac{xf(x){\int }_0^{x}f(t)dt-f(x){\int }_0^{x}tf(t)dt}{({\int }_0^{x}f(t)dt{)}^2} \\ =\frac{{\int }_0^{x}f(x)f(t)(x-t)dt}{({\int }_0^{x}f(t)dt{)}^2} \\ 因为,x\in (0,\infty ),0\le t\le x,f(x)>0 \\ 所以f(t)>0,(x-t)\ge 0且x\not\equiv t \\ 从而f(x)f(t)(x-t)\ge 0且不恒等于0，所以{\int }_0^{x}f(x)f(t)(x-t)dt>0 \\ 所以当x\in (0,\infty )时，F^{{}^{\prime }}(x)>0,即F(x)在(0,infty)内单增。 \end{gathered}$$

2 微积分基本公式

定理3（微积分基本定理）如果函数$F(x)$是连续函数$f(x)在区间[a,b]$上的一个原函数，那么

​ ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)(2-4)$

$$\begin{gathered} 证明：已知F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，根据定理2知，积分上限函数 \\ \Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt也是f(x)的一个原函数，则 \\ F(x)-\Phi (x)=C(a\le x\le b,C为常数)(2-5) \\ 去x=a,F(a)-\Phi (a)=C，\Phi (a)=0,F(a)=C,导入2-5式得 \\ \Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a) \\ 令x=b,{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \end{gathered}$$

注：

• 该公式也称为牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz），也叫微积分基本公式
• 运用微积分基本公式的前提是函数$f(x)$是连续的

例1 求${\int }_{-2}^{2\sqrt{3}}\frac{1}{4+x^2}dx$
$$\begin{gathered} 解：{\int }_{-2}^{2\sqrt{3}}\frac{1}{4+x^2}dx=\frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2}{|}_{-2}^{2\sqrt{3}} \\ =\frac{1}{2}(\arctan \sqrt{3}-\arctan (-1))=\frac{7}{24}\pi \end{gathered}$$
求${\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$
$$解：{\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\sqrt{x^2+1}{|}_0^1=\sqrt{2}-1$$
例2 求${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$,其中
$$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2+1,(0\le x\le 1)\\ x+1,(-1\le x<0)\end{array}$$

$$\begin{gathered} 解:{\int }_{-1}^{1}f(x)dx={\int }_{-1}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{1}f(x)dx \\ ={\int }_{-1}^0(x+1)dx+{\int }_0^1(x^2+1)dx=(\frac{1}{2}{x}^2+x){|}_{-1}^0+(\frac{1}{3}{x}^3+x){|}_0^1 \\ =\frac{1}{2}-1+\frac{1}{3}+1=\frac{5}{6} \end{gathered}$$

例3 求${\int }_0^3|2-x|dx$
$$\begin{gathered} 解：{\int }_0^3|2-x|dx={\int }_0^2|2-x|dx+{\int }_2^3|2-x|dx \\ ={\int }_0^2(2-x)dx+{\int }_2^3(x-2)dx=(2x-\frac{1}{2}{x}^2){|}_0^2+(\frac{1}{2}{x}^2-2x){|}_2^3 \\ =4-2+\frac{9}{2}-6-(2-4)=\frac{5}{2} \end{gathered}$$
例4
$$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\int [0,1),\\ x,x\int [1,2]\end{array}$$
求$\Phi (x)={\int }_0^{x}f(t)dt在[0,2]$上的表达式
$$\begin{gathered} 解：当x\in [0,1)时，\Phi (x)={\int }_0^{x}f(t)dt={\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{1}{3}{x}^3 \\ 当x\in [1,2]时,\Phi (x)={\int }_0^{x}f(t)dt={\int }_0^{1}f(t)dt+{\int }_1^{x}f(t)dt \\ ={\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_1^{x}tdt=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2} \\ =\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{6} \\ \Phi (x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}{x}^3,x\in [0,1)\\ \frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{6},x\in [1,2]\end{array} \end{gathered}$$

后记

❓QQ:806797785

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p237-244.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p33.