本题解为非官方题解，可能存在包括但不限于下列问题

• 答案错误
• 时间复杂度太高，无法在规定时间内得出结果

---

填空题答案速览

1. 67108864
2. 3181
3. 40257
4. 2430
5. 10266837

---

填空题

A 空间 (5分)

问题描述
小蓝准备用 $256$ MB 的内存空间开一个数组，数组的每个元素都是 $32$ 位二进制整数，如果不考虑程序占用的空间和维护内存需要的辅助空间，请问 $256$ MB 的空间可以存储多少个 $32$ 位二进制整数？

题解
计算机基础

注意一字节等于八位
（因为考场电脑是32位系统，用 long long 会有奇奇怪怪的错误，而且python代码更短，所以用python写了）

print(256 * 1024 * 1024 * 8 // 32)

答案

67108864

B 卡片 (5分)

问题描述
小蓝有很多数字卡片，每张卡片上都是数字 $0$ 到 $9$。
小蓝准备用这些卡片来拼一些数，他想从 $1$ 开始拼出正整数，每拼一个，就保存起来，卡片就不能用来拼其它数了。
小蓝想知道自己能从 $1$ 拼到多少。
例如，当小蓝有 $30$ 张卡片，其中 $0$ 到 $9$ 各 $3$ 张，则小蓝可以拼出 $1$ 到 $10$，但是拼 $11$ 时卡片 $1$ 已经只有一张了，不够拼出 $11$。
现在小蓝手里有 $0$ 到 $9$ 的卡片各 $2021$ 张，共 $20210$ 张，请问小蓝可以从 $1$ 拼到多少？

提示：建议使用计算机编程解决问题。

题解
模拟

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10];
bool solve(int x) {while (x) {if (a[x % 10] > 0) {--a[x % 10];} else {return false;}x /= 10;}return true;
}
int main() {for (int i = 0; i <= 9; ++i) {a[i] = 2021;}int p = 1;while (true) {if (!solve(p)) break;p++;}cout << p - 1 << endl;return 0;
}

答案

3181

C 直线 (10分)

问题描述
在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上 $2\times 3$ 个整点 {(x,y)∣0≤x<2,0≤y<3,x∈Z,y∈Z}\{(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z\}{(x,y)∣0≤x<2,0≤y<3,x∈Z,y∈Z}，即横坐标是 $0$ 到 $1$ (包含 $0$ 和 $1$) 之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $2$ (包含 $0$ 和 $2$) 之间的整数的点。这些点一共确定了 $11$ 条不同的直线。
给定平面上 $20\times 21$ 个整点 {(x,y)∣0≤x<20,0≤y<21,x∈Z,y∈Z}\{(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z\}{(x,y)∣0≤x<20,0≤y<21,x∈Z,y∈Z}，即横坐标是 $0$ 到 $19$ (包含 $0$ 和 $19$) 之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $20$ (包含 $0$ 和 $20$) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

题解
计算几何？

解法一
点两两连线，算出 $k,b$ 放进set里
（竖直和水平线另算，避免 $k$ 为 $0$ 或 $\infty$）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 502
#define X 21
#define Y 20
struct Point {int x, y;Point() {}Point(int _x, int _y) : x(_x), y(_y) {}
} a[N];
int cnt_point;
struct Line {double k, b;Line() {}Line(double _k, double _b) : k(_k), b(_b) {}bool operator<(const Line &y) const {if (k == y.k) {return b < y.b;}return k < y.k;}
};
set<Line> e;
void addedge(Point x, Point y) {if (x.x == y.x || x.y == y.y) return;double fm = (y.x - x.x) * 1.0;double k = (y.y - x.y) * 1.0 / fm;double b = (x.y * y.x - x.x * y.y) * 1.0 / fm;e.insert(Line(k, b));
}
int main() {for (int x = 0; x < X; ++x) {for (int y = 0; y < Y; ++y) {a[cnt_point++] = Point(x, y);}}for (int i = 0; i < cnt_point; ++i) {for (int j = 0; j < cnt_point; ++j) {addedge(a[i], a[j]);}}cout << e.size() + X + Y << endl;return 0;
}

解法二
用 $Ax+By+C=0$
其中 $A=y_1-y_2,B=x_2-x_1,C=x_1{y}_2-x_2{y}_1$
可以避免浮点运算导致的精度问题

注意 直线 $Ax+By+C=0$ 与 直线 $kAx+kBy+kC=0$ $(k\in Z,k\ne 0)$ 相同，记录时需要对 $A、B、C$ 进行化简

代码略

答案

40257

D 货物摆放 (10分)

问题描述
小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。
现在，小蓝有 $n$ 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。
小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的立方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 $L、W、H$ 的货物，满足 $n=L\times W\times H$。
给定 $n$，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。
例如，当 $n=4$ 时，有以下 $6$ 种方案：$1\times 1\times 4、1\times 2\times 2、1\times 4\times 1、2\times 1\times 2、2\times 2\times 1、4\times 1\times 1$。
请问，当 $n=2021041820210418$ （注意有 $16$ 位数字）时，总共有多少种方案？

提示：建议使用计算机编程解决问题。

题解
数论

对 $n$ 分解质因数
$2021041820210418=2\times 3\times 3\times 3\times 17\times 131\times 2857\times 5882353$

解法一
dfs 算方案放进 set 里

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n = 2021041820210418;
ll a[102], cnt;
struct Node {ll l, w, h;Node() {}Node(ll _l, ll _w, ll _h) : l(_l), w(_w), h(_h) {}bool operator<(const Node &y) const {if (l == y.l) {if (w == y.w) {return h < y.h;}return w < y.w;}return l < y.l;}
};
set<Node> ans;
void dfs(int p, ll l, ll w, ll h) {if (p == cnt) {ans.insert(Node(l, w, h));return;}dfs(p + 1, l * a[p], w, h);dfs(p + 1, l, w * a[p], h);dfs(p + 1, l, w, h * a[p]);
}
int main() {for (ll i = 2; i * i <= n; ++i) {if (n % i == 0) {a[cnt++] = i;n /= i;i--;}}a[cnt++] = n;dfs(0, 1, 1, 1);cout << ans.size() << endl;return 0;
}

解法二
排列组合

注意到有 $3$ 个 $3$
$3^5\times (1+2+2+2+3)＝2430$

答案

2430

E 路径 (15分)

问题描述
小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。
小蓝的图由 $2021$ 个结点组成，依次编号 $1$ 至 $2021$。
对于两个不同的结点 $a,b$，如果 $a$ 和 $b$ 的差的绝对值大于 $21$，则两个结点之间没有边相连；如果 $a$ 和 $b$ 的差的绝对值小于等于 $21$，则两个点之间有一条长度为 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数的无向边相连。
例如：结点 $1$ 和结点 $23$ 之间没有边相连；结点 $3$ 和结点 $24$ 之间有一条无向边，长度为 $24$；结点 $15$ 和结点 $25$ 之间有一条无向边，长度为 $75$。
请计算，结点 $1$ 和结点 $2021$ 之间的最短路径长度是多少。

提示：建议使用计算机编程解决问题。

题解
图论

解法一
根据题意建边，跑最短路， Dijkstra 即可

#include <bits/stdc++.h>
#define N 2022
#define M 100005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int gcd(int x, int y) { return (x % y) ? gcd(y, x % y) : y; }
int lcm(int x, int y) { return x / gcd(x, y) * y; }
struct Edge {int v, w, nxt;
} e[M];
int head[N], cnt;
void addedge(int u, int v, int w) {e[++cnt].v = v;e[cnt].w = w;e[cnt].nxt = head[u];head[u] = cnt;
}
struct Node {int u, d;Node() {}Node(int _u, int _d) : u(_u), d(_d) {}bool operator<(const Node &x) const { return d > x.d; }
};
int dis[N];
int dijkstra(int s, int t) {for (int i = 1; i < N; ++i) {dis[i] = INF;}dis[s] = 0;priority_queue<Node> q;q.push(Node(s, 0));while (!q.empty()) {Node tmp = q.top();q.pop();int u = tmp.u, d = tmp.d;if (d != dis[u]) continue;for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {int v = e[i].v, w = e[i].w;if (dis[v] > dis[u] + w) {dis[v] = dis[u] + w;q.push(Node(v, dis[v]));}}}return dis[t];
}
int main() {for (int i = 1; i < N; ++i) {for (int j = 1; j < N; ++j) {if (abs(i - j) <= 21) {addedge(i, j, lcm(i, j));}}}cout << dijkstra(1, 2021) << endl;return 0;
}

解法二
用 Floyd 跑最短路
虽然时间复杂度为 $O(n^3)$ ，但是代码比 Dijkstra 短得多啊！
有写 Dijkstra 的时间 Floyd 早就跑完了

代码略

答案

10266837

编程题

以下题目时间限制均为 1.0s，内存限制均为 256.0MB

F 时间显示 (15分)

问题描述
小蓝要和朋友合作开发一个时间显示的网站。在服务器上，朋友已经获取了当前的时间，用一个整数表示，值为从 $1970$ 年 $1$ 月 $1$ 日 $00:00:00$ 到当前时刻经过的毫秒数。
现在，小蓝要在客户端显示出这个时间。小蓝不用显示出年月日，只需要显示出时分秒即可，毫秒也不用显示，直接舍去即可。
给定一个用整数表示的时间，请将这个时间对应的时分秒输出。

输入格式
输入一行包含一个整数，表示时间。
输出格式
输出时分秒表示的当前时间，格式形如 $HH:MM:SS$，其中 $HH$ 表示时，值为 $0$ 到 $23$，$MM$ 表示分，值为 $0$ 到 $59$，$SS$ 表示秒，值为 $0$ 到 $59$。时、分、秒不足两位时补前导 $0$。

样例输入 1

46800999

样例输出 1

13:00:00

样例输入 2

1618708103123

样例输出 2

01:08:23

评测用例规模与约定
对于所有评测用例，给定的时间为不超过 $10^{18}$ 的正整数。

题解
模拟

注意 $1$ 秒 $=1000$ 毫秒

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n;
ll hh, mm, ss;
int main() {scanf("%lld", &n);n /= 1000;ss = n % 60;n /= 60;mm = n % 60;n /= 60;hh = n % 24;printf("%02lld:%02lld:%02lld\n", hh, mm, ss);return 0;
}

G 砝码称重 (20分)

问题描述
你有一架天平和 $N$ 个砝码，这 $N$ 个砝码重量依次是 $W_1,W_2,\cdots ,W_N$。请你计算一共可以称出多少种不同的重量？
注意砝码可以放在天平两边。

输入格式
输入的第一行包含一个整数 $N$。
第二行包含 $N$ 个整数：$W_1,W_2,W_3,\cdots ,W_N$。
输出格式
输出一个整数代表答案。

样例输入

3
1 4 6

样例输出

10

样例说明
能称出的 $10$ 种重量是：$1、2、3、4、5、6、7、9、10、11$。
$1=1$；
$2=6-4$ (天平一边放 $6$，另一边放 $4$)；
$3=4-1$；
$4=4$；
$5=6-1$；
$6=6$；
$7=1+6$；
$9=4+6-1$；
$10=4+6$；
$11=1+4+6$。

评测用例规模与约定
对于 $50\%$ 的评测用例，$1\le N\le 15$。
对于所有评测用例，$1\le N\le 100$，$N$ 个砝码总重不超过 $100000$。

题解
dp

解法一 （可能会超时）
对于砝码 $i$ ，在使用砝码 $1$ 到砝码 $i-1$ 能称出的重量的基础上，可以选择将其放在天平左边或者右边
规定砝码放在左边为正，放在右边为负

用 set 记录所有能称出的重量
最后再取绝对值去重
注意 $0$ 不算

#include <bits/stdc++.h>
#define N 102
#define MAX_WEIGHT 100005
using namespace std;
int n, w[N], sum_weight, ans;
set<int> st, st2;
bool vis[MAX_WEIGHT];
int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &w[i]);sum_weight += w[i];}st.insert(0);st2.insert(0);for (int i = 0; i < n; ++i) {for (set<int>::iterator iter = st.begin(); iter != st.end(); ++iter) {st2.insert((*iter) + w[i]);st2.insert((*iter) - w[i]);}st = st2;}for (set<int>::iterator iter = st.begin(); iter != st.end(); ++iter) {vis[abs(*iter)] = true;}for (int i = 1; i <= sum_weight; ++i) {if (vis[i]) {++ans;}}printf("%d\n", ans);
}

解法二
$dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品，若能称出重量 $j$ 则为 $1$ ，反之为 $0$
对于 $j$ 为负数的情况可以对初始重量 $0$ 进行偏移
因为砝码总重不超过 $100000$ ，偏移量 $200000$ 即可

状态转移方程如下
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i][j]||dp[i-1][j]& \text{不放砝码 i }\\ dp[i][j]||dp[i-1][j-w_i]& \text{砝码 i 放左边}\\ dp[i][j]||dp[i-1][j+w_i]& \text{砝码 i 放右边}\end{array}$$
其中 || 为 或运算

#include <bits/stdc++.h>
#define N 102
#define MAX_WEIGHT 100005
using namespace std;
int n, m, k, w[N], sum_weight, ans;
bool dp[N][MAX_WEIGHT << 2];
int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%d", &w[i]);sum_weight += w[i];}dp[0][sum_weight * 2] = true;for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = sum_weight; j <= sum_weight * 3; ++j) {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - w[i]] || dp[i - 1][j + w[i]];}}for (int i = 1; i <= sum_weight; ++i) {if (dp[n][sum_weight + i] || dp[n][sum_weight - i]) {++ans;}}printf("%d\n", ans);return 0;
}

H 杨辉三角形 (20分)

问题描述
下面的图形是著名的杨辉三角形：

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：
$1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,\cdots$
给定一个正整数 $N$，请你输出数列中第一次出现 $N$ 是在第几个数？

输入格式
输入一个整数 $N$。
输出格式
输出一个整数代表答案。

样例输入

6

样例输出

13

评测用例规模与约定
对于 $20\%$ 的评测用例，$1\le N\le 10$；
对于所有评测用例，$1\le N\le 1000000000$。

题解
注意到有 $n=C_n^1$ ，即 $n$ 必然会出现在 第 $n+1$ 行 第 $2$ 列 的位置上

若不存在 $n=C_i^j,j\le i$ 且 $n<C_p^2,i\le p<n$ ，则 $n$ 只可能在 $C_n^1$ 的位置
即前 $p+1$ 行没有出现 $n$ 且第 $p+1$ 行第三列大于 $n$ 的时候就可以直接判断 $n$ 第一次出现在第 $n+1$ 行 第 $2$ 列

暴力枚举前 $p+1$ 行 （每行的前一半就行了）
最坏情况下 $p$ 需要枚举到 $44722$ ( $C_{44722}^2=1,000,006,281$ )

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
ll n, c[N], p, q;
bool flag;
int main() {scanf("%lld", &n);if (n == 1) { //特判 1printf("1\n");return 0;}c[0] = c[1] = 1;p = 1;while (c[2] < n) {++p;for (int i = p / 2 + 1; i > 0; --i) {c[i] += c[i - 1];}c[p] = 1;q = lower_bound(c, c + p / 2, n) - c;if (c[q] == n) {flag = true;break;}}if (flag) {printf("%lld\n", (1 + p) * p / 2ll + q + 1ll);} else {printf("%lld\n", (1 + n) * n / 2ll + 2ll);}return 0;
}

I 双向排序 (25分)

问题描述
给定序列 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(1,2,\cdots ,n)$，即 $a_i=i$。
小蓝将对这个序列进行 $m$ 次操作，每次可能是将 $a_1,a_2,\cdots ,a_{q_i}$ 降序排列，或者将 $a_{q_i},a_{q_{i+1}},\cdots ,a_n$ 升序排列。
请求出操作完成后的序列。

输入格式
输入的第一行包含两个整数 $n,m$，分别表示序列的长度和操作次数。接下来 $m$ 行描述对序列的操作，其中第 $i$ 行包含两个整数 $p_i$, $q_i$ 表示操作类型和参数。当 $p_i=0$ 时，表示将 $a_1,a_2,\cdots ,a_{q_i}$ 降序排列；当 $p_i=1$ 时，表示将 $a_{q_i},a_{q_{i+1}},\cdots ,a_n$ 升序排列。
输出格式
输出一行，包含 $n$ 个整数，相邻的整数之间使用一个空格分隔，表示操作完成后的序列。

样例输入

3 3
0 3
1 2
0 2

样例输出

3 1 2

样例说明
原数列为 $(1,2,3)$。
第 $1$ 步后为 $(3,2,1)$。
第 $2$ 步后为 $(3,1,2)$。
第 $3$ 步后为 $(3,1,2)$。与第 $2$ 步操作后相同，因为前两个数已经是降序了。

评测用例规模与约定
对于 $30\%$ 的评测用例，$n,m\le 1000$；
对于 $60\%$ 的评测用例，$n,m\le 5000$；
对于所有评测用例，$1\le n,m\le 100000，0\le p_i\le 1，1\le q_i\le n$。

题解
暴力 sort ，时间复杂度 $O(mn\log n)$ ，拿 $30\%$ ~ $60\%$ 分

正解暂无

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
int n, m;
int a[N], p[N], q[N];
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; ++i) {a[i] = i;}for (int i = 1; i <= m; ++i) {scanf("%d%d", &p[i], &q[i]);if (p[i]) {sort(a + q[i], a + n + 1);} else {sort(a + 1, a + q[i] + 1, greater<int>());}}for (int i = 1; i <= n; ++i) {printf(" %d" + !(i - 1), a[i]);}printf("\n");return 0;
}

J 括号序列 (25分)

问题描述
给定一个括号序列，要求尽可能少地添加若干括号使得括号序列变得合法，当添加完成后，会产生不同的添加结果，请问有多少种本质不同的添加结果。两个结果是本质不同的是指存在某个位置一个结果是左括号，而另一个是右括号。
例如，对于括号序列 $((()$，只需要添加两个括号就能让其合法，有以下几种不同的添加结果：$()()()$、$()(())$、$(())()$、$(()())$ 和 $((()))$。

输入格式
输入一行包含一个字符串 $s$，表示给定的括号序列，序列中只有左括号和右括号。
输出格式
输出一个整数表示答案，答案可能很大，请输出答案除以 $1000000007$ (即$10^9+7$) 的余数。

样例输入

((()

样例输出

5

评测用例规模与约定
对于 $40\%$ 的评测用例，$|s|\le 200$。
对于所有评测用例，$1\le |s|\le 5000$。

题解
特判合法括号序列输出 $0$
特判样例骗分

正解暂无

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s;
int cnt;
bool flag = true;
int main() {cin >> s;for (int i = 0; i < s.length(); ++i) {if (s[i] == '(') {++cnt;} else {if (cnt <= 0) {flag = false;break;}--cnt;}}if (cnt) {flag = false;}if (flag) {printf("0\n");} else {if (s == "((()") {printf("5\n");} else {printf("%d\n", s.length());}}return 0;
}