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在此整理EM算法的推导过程。EM算法，全称Expectation Maximization Algorithm，是一种使用迭代实现极大似然估计的优化算法，作为牛顿迭代法对包含因变量或缺失数据的概率模型进行参数估计。EM算法的基本思想，是预先设定一组参数，然后使用最大似然估计(MLE)更新这一组参数。

实际应用中，往往会遇到数据缺失的情况。例如，

比较简单的模型就是硬币模型。两个硬币，A，B，分别服从不同的分布。实验中随机选一个硬币，从多次的投掷结果判断两个硬币的分布的参数。当我们知道选什么硬币时，很容易直接用MLP得到结果。不知道所选硬币时，不能直接求，这里就应用EM算法解决这个问题。

上图比较清晰地表现了EM 算法的流程。其中，表格显示的过程是按照A，B出现的概率，每次硬币分别出现在A与B的期望。例如，第一组实验，硬币五个正面，先验P(A)=P(B)，知道P(E|A)，P(E|B)，得到后验分布P(A|E) = 0.45，P(B|E) = 0.55。然后在这里相当于A的实验为（5*0.45，5*0.45），以此类推。最后迭代得到0.8， 0.52的参数。

EM算法的公式推导：

首先从数学上表述EM算法（来自《统计学习方法》）：

输入：观测数据Y，隐变量数据Z，联合分布P(Y,Z|θ)，条件分布P(Z|Y，θ)；

输出：模型参数θ

迭代：计算

最大化Q函数，得到新的参数估计

,直到收敛。

详细解释EM的导出：

新的估计值要使L更大：

使用Jensen 不等式，有

（补充：《统计学习方法》跳过了一个小步骤）

继续，

其中，

使B达到极大，

应当注意的是，EM算法不能保证收敛到全局最优值。图1说明了这一点，最后迭代收敛的并不是我们预设的0.8, 0.45

参考文献：

统计机器学习课程，张志华

统计学习方法，李航

What is the expectation maximization algorithm? Chuong B Do & Serafim Batzoglou