奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

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奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：$Ax=\lambda x$

其中A是一个$n\times n$的矩阵，x是一个n维向量，则我们说$\lambda$是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值$\lambda$所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n$,以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,...wn}\{w_1,w_2,...w_n\}{w1​,w2​,...wn​}，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：$A=W\Sigma W^{-1}$

其中W是这n个特征向量所张成的$n\times n$维矩阵，而$\Sigma$为这n个特征值为主对角线的$n\times n$维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足$||w_i|{|}_2=1$, 或者说$w_i^T{w}_i=1$，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=I$，即$W^T=W^{-1}$, 也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成$A=W\Sigma W^T$

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个$m\times n$的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：$A=U\Sigma V^T$

其中U是一个$m\times m$的矩阵，$\Sigma$是一个$m\times n$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个$n\times n$的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足$U^{T}U=I,V^{T}V=I$。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的U, $\Sigma$, V这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到$n\times n$的一个方阵$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$

这样我们就可以得到矩阵$A^{T}A$的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将$A^{T}A$的所有特征向量张成一个$n\times n$的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到$m\times m$的一个方阵$A{A}^T$。既然$A{A}^T$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$

这样我们就可以得到矩阵$A{A}^T$的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将$A{A}^T$的所有特征向量张成一个$m\times m$的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$\Sigma$没有求出了。由于$\Sigma$除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值$\sigma$就可以了。

我们注意到:$A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^{T}V\Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow A{v}_i={\sigma }_i{u}_i\Rightarrow {\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i}$

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$\Sigma$。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说$A^{T}A$的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而$A{A}^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。$A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^T=V\Sigma U^T\Rightarrow A^{T}A=V\Sigma U^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^2{V}^T$

上式证明使用了:$U^{T}U=I,{\Sigma }^T=\Sigma$。可以看出$A^{T}A$的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到$A{A}^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$

这样也就是说，我们可以不用${\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i}$来计算奇异值，也可以通过求出$A^{T}A$的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

我们首先求出$A^{T}A$和$A{A}^T$

${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

进而求出$A^{T}A$的特征值和特征向量：${\lambda }_1=3;v_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right);{\lambda }_2=1;v_2=\left(\begin{array}{c}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

接着求$A{A}^T$的特征值和特征向量：

${\lambda }_1=3;u_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right);{\lambda }_2=1;u_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right);{\lambda }_3=0;u_3=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{-1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$

利用$A{v}_i={\sigma }_i{u}_i,i=1,2$求奇异值：

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)={\sigma }_1\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_1=\sqrt{3}$

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)={\sigma }_2\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_2=1$

当然，我们也可以用${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$直接求出奇异值为$\sqrt{3}$和1.

最终得到A的奇异值分解为：$A=U\Sigma V^T=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& \frac{-1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

4. SVD的一些性质

上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$

其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵$U_{m\times k},{\Sigma }_{k\times k},V_{k\times n}^T$来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵$X^{T}X$的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵$X^{T}X$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵$X^{T}X$最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵$X^{T}X$，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是$m\times n$的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵$X{X}^T$最大的d个特征向量张成的$m\times d$维矩阵U，则我们如果进行如下处理：$X_{d\times n}^{\prime }=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$

可以得到一个$d\times n$的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的$m\times n$维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

6. SVD小结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。