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再生核希尔伯特空间首先一定是希尔伯特空间，所以先介绍希尔伯特(Hilbert)空间:
设E非空集合，H为定义在E上的线性空间：
- 定义内积：
H×H→C
∀ψ,φ∈H,(ψ,φ)=<ψ,φ>H
- 定义范数：
∀ψ∈H,||ψ||H=<ψ,ψ>1/2H
若H是完备的，则按照上述定义的H是Hilbert 空间.
Example 1.
设H为有限维复函数空间，基(f1,f2,…,fn),则∀f∈H可以写做f1,f2,…,fn的线性组合，H的内积运算<.,.>H完全由f1,f2,…,fn之间的内积运算决定,令
gij:=<fi,fj>H,1≤i,j≤n
若 v,w∈H 可表示为
v=∑i=1nvifiw=∑j=1nwjfj
则
<v,w>H=<∑i=1nvifi,∑j=1nwjfj>H=∑i=1n∑j=1nviw¯¯¯jgij
NOTE:有限维内积空间总是完备的
从而按照上面定义的空间H为Hilbert 空间.
Example 2.
设E=N+正整数集，H=l2(C):={(xi)i∈N+∈C:∑i∈N+|xi|2<∞}
- 定义内积：
x=(xi),y=(yi):<x,y>l2(C)=∑i∈N+xiy¯i
按照上面定义的空间H为Hilbert 空间.
接下来引入再生核的概念！