862. 二进制数01串
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USACO/kimbits(译 by !Starliu )
描述
考虑排好序的N(N<=31)位二进制数。
你会发现，这很有趣。因为他们是排列好的，而且包含所有可能的长度为N且含有1的个数小于等于L(L<=N)的数。
你的任务是输出第I（1<=I<=长度为N的二进制数的个数）大的，长度为N，且含有1的个数小于等于L的那个二进制数。
注意：这里“长度为N”包括长度小于N的数（我们认为高位用0补齐）
共一行，用空格分开的三个整数N，L，I。
共一行，输出满足条件的第I大的二进制数。
题目链接：http://cogs.cf/cogs/problem/problem.php?pid=862
分析：这道题很难，构思巧妙,先用dp求出所要求dp[i,j]前i位1的个数不大于j的方案数，然后便是printf了。
先讲一下如何计算dp[i,j]。
dp[i,j]表示前i位，1的个数不大于j的方案数。
显然：dp[i,j]=dp[i-1,j]+dp[i-1,j-1];
dp[i-1,j]表示当前第i位以0开头所得到的方案数,dp[i-1,j-1]表示当前第i位以1开头得到的方案数。
如何根据得到的dp[i,j]来printf呢？如果当前我要确定第i位，那么肯定要看dp[i-1]集合中的值判断，例如我当前确定第5位，前4位不超过3个1的方案数为15，而我现在要求第19位，则第5为1，因为19>15，为什么呢？因为第5位可能为0,1，而为0的占了15个，为1的开头也是占15个，显然19属于为1开头的数，所以输出1，输出1的同时还要更新数据即可。输出0就什么也不用更新。
更新数据是指：当前第19位要减去15，3个1要变为2个1，以更新完的数据去得到第i+1个数才能是正确的。二分对每一位判断当改位是0的时候的有多少个符合条件的数就行了
貌似代码跑的飞起来，COGS上第一道排名NO.1的题，纪念一下！
下面给出AC代码：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn=32+5; 4 typedef long long ll; 5 ll dp[maxn][maxn],n,o=0; 6 ll C(ll a,ll b) 7 { 8 if(a==0) 9 return 1; 10 if(dp[a][b]!=-1) 11 return dp[a][b]; 12 return a==1?b:dp[a][b]=(C(a-1,b)*(b-a+1))/a; 13 } 14 ll total(ll num,ll len,ll maxo) 15 { 16 ll cnt=0; 17 len=n-len-1; 18 for(ll i=0;(i+o)<=maxo;i++) 19 { 20 cnt+=C(i,len); 21 } 22 return cnt; 23 } 24 int main() 25 { 26 ll l,i,len; 27 char ans[maxn]; 28 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 29 memset(ans,0,sizeof(ans)); 30 freopen("kimbits.in","r",stdin); 31 freopen("kimbits.out","w",stdout); 32 cin>>n>>l>>i; 33 for(len=0;len<n;len++) 34 { 35 ll temp=total(0,len,l); 36 if(temp>=i) 37 ans[len]=0+'0'; 38 else 39 { 40 ans[len]=1+'0'; 41 i=i-temp; 42 o++; 43 } 44 } 45 cout<<ans<<endl; 46 return 0; 47 }