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一、傅里叶变换 （FT）
二、傅里叶变换（FT）的缺点与短时傅里叶变换（STFT）
三、短时傅里叶变换（STFT）的缺点与连续小波变换（CWT）
四、连续小波变换（CWT）的缺点与离散小波变换（DWT）
源代码：1368069096/From_FT_to_WT_examples-
四、连续小波变换（CWT）的缺点与离散小波变换（DWT）
1、连续小波变换（CWT）的缺点
在上一篇文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/68323379）中我们讲解了 CWT可以实现动态分辨率的时频分析。CWT公式为：
但是在第二篇文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/66246381）中我们讲过，实际采样信号往往具有两个特点：1、离散性，就是采集数据不连续，很容易理解，采集信号肯定是一个一个数据采集的；2、有限性，虽然理想的CWT是从
所以，由于CWT需要一个连续信号，但是实际采样信号往往是离散的，我们无法直接对实际信号进行CWT。
或许你想，我们对实际采样信号进行插值连续化不就可以使得其连续了吗？
是的。将实际采样信号插值连续化之后，我们——人，是可对它进行CWT的。
但是，我们也都知道，我们的帮手——计算机，是无法处理连续问题的。计算机只能处理离散问题。如果计算机要进行CWT，就意味着需要计算机做无穷次运算，计算机计算能力再强也是做不到的。
因此，为了使得计算机可以进行小波变换，我们需要引入离散小波变换（DWT）。
2、离散小波变换（DWT）的Mallet算法
DWT有很多种实现方式，我们在这里介绍Mallet算法，它是DWT的以一种经典的快速算法，也比较易懂。
我们首先来回顾一下上一篇文章讲过的动态分辨率图：高频部分，窄窗，高的时域分辨率，低的频域分辨率；低频部分，宽窗，低的时域分辨率，高的频域分辨率。
我们是利用小波母函数的挤压和拉伸来实现动态分辨率的：
当小波母函数被挤压的时候，频率就高，此时窗子窄，时域分辨率就好，根据海森堡测不准原理，频域分辨率就差；
当小波母函数被拉伸的时候，频率就低，此时窗子宽，时域分辨率就差，根据海森堡测不准原理，频域分辨率就好。
也就是说，我们控制的是不同频率对应的窗长（即时域分辨率），频率分辨率是通过海森堡测不准原理得到的，从而达到了动态分辨率。
那么，如果我们这次不控制窗长（即时域分辨率），转而控制频域分辨率，能否达到动态分辨率呢？
答案是可以，这就是Mallet算法要解决的问题。
半子带滤波
我们知道，小波母函数本质上是一种带通滤波器。那么，假设可以通过小波母函数构造得到两个滤波器（至于怎么得到后续会介绍一下），包括一个高通滤波器和一个低通滤波器。
假设信号中的最高频率为
我们将这个过程称为一次半子带滤波。
下采样与上采样
我们定义一个N倍下采样过程：将采样点N倍稀释。如下，就是一个2倍下采样过程，将采样点稀释2倍，即：每2个点采样数据点，就去除一个点。
N倍上采样过程：将采样点数量增加N倍。一般通过补0，或者插值的方法实现上采样。
离散小波分解
我们将一次半子带滤波+一次2倍下采样称为一层小波分解。如下图所示，图中的“箭头+2”表示一次2倍下采样。
假设原采样信号有
经过一次高通滤波后，得到了
经过一次低通滤波后，得到了
也就是说，经过一层小波分解的信号，它的总长度加起来，还是
现在，我们已经对
那么，我们保持
这个过程被称为第2层小波分解。我们验证一下，经过2层小波分解的信号，它的总长度加起来，还是
依此类推，我们可以进行第三层，第四层小波分解，如图所示，直到第
因此，小波分解的原始信号个数一般也需要是2的幂次。不过，在各种数学计算软件里，如果输入不是2的幂次，它会自动帮你补零到2的幂次。
我们取4层小波分解的结果来看一下。
在频域上，我们得到的是
在时域上，由于不断的2倍下采样，不断地丢弃数据，所以最后一层分解得到的
那么，我们得到的分辨率就是这样子的：
这，不就是上一篇文章我们讲过的小波变换得到的动态分辨率吗？
是的！这就是离散小波变换的快速算法之一——Mallet算法，通过不断的半子带滤波和下采样，控制不同频率成分的频域分辨率，进而达到动态分辨率。
最后，用一张比较经典的图，再来演示一下小波分解的过程。
再来举个例子形象地说明一下DWT的使用吧。
希望对于一个采样率为1000HZ的非稳态信号进行小波分解，下图为包含了256个采样点（即256ms）的原始采样信号。
1、首先，选择小波分解的层次。
可以根据对最低频率区间的要求来选择小波分解的层数。比如，我之前做项目的时候，采样率为1000HZ，那么信号的最高频率为
2、接下来，进行5层小波分解，得到小波分解系数。
如下图中，图1依然是原始采样信号 ，图2到图6为第1层到第5层小波分解的高频系数，图7为第5层小波分解的低频系数。如图所示，这些小波分解系数对应着不同的频率区间。
这就是DWT了，又称为小波分解。
这里提一下，小波分解是可逆的，即可以通过不同频率区间的小波分解系数进行重构，得到不同频率区间的重构信号。
3、所以，最后，进行小波重构，得到重构信号。
如下图中，图1依然是原始采样信号，图2到图7为通过不同频率区间的小波系数进行重构，得到的重构信号。将图2到图7加起来就可以得到重构原始信号，其和原始采样信号的误差称为重构误差。
3、Mallet算法背后的数学原理简介
这一部分主要是为了解答上一部分中的两个问题。
1、在上一部分，我们“假设可以通过小波母函数构造得到两个滤波器”，那么，怎么得到刚好可以具有以上特性的滤波器呢？
2、在上一部分，我们将小波分解之后的结果称为“系数”，那么，为什么称为系数呢？
先说一下，这部分我不是弄得非常懂，毕竟我只是个做工程的本科生，不是做数学的大佬。我凭自己的理解写一写大概，并推荐了两篇个人觉得讲得很好的回答。
我们用Haar小波做例子。
首先，介绍一个Haar尺度函数（又称为父小波），记为
通过Haar尺度函数
现在，对于一个
从直观上看，Haar尺度函数只是一条线，而Haar母小波则是一个波。所以，Haar母小波所能表示出来的信息应该更加细致。因此，
我们将
所以，DWT的滤波功能，是通过利用尺度函数和母小波重构信号，获取重构系数来获得的，这已经定性地解决了本部分提出的问题。
关于DWT背后的数学原理，推荐两篇回答：
关右：通过Haar小波认识离散小波变换zhuanlan.zhihu.com
最后，由于DWT分解得到的是高频系数和低频系数，也就是用尺度函数以及母小波表示原信号的时候的一些重构系数，所以通过重构系数可以重构该信号，这被称为小波分解的重构。这也说明了小波分解是可逆的。
1335：从傅里叶变换进阶到小波变换（一）zhuanlan.zhihu.comhttp://feihu.eng.ua.edu/NSF_TUES/w7_2.pdf(参考资料）