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news 2025/6/30 22:08:40

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特征值很复杂，除了普通的特征向量外，还有左特征向量和广义特征向量。先说说比较容易的左特征向量吧。它是这样定义的， $A$ 是一个矩阵， $λ\lambda$ 是它的一个特征值，下面的向量 $y$ 就是矩阵关于特征值的左特征向量left eigenvector：
$yHA=λyHy^HA=\lambda y^H$
以这个矩阵为例子：
$(200110112)\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ \end{pmatrix}$
它的特征多项式是 $(λ−2)2(λ−1)(\lambda - 2)^2(\lambda - 1)$ ，所以特征值是 $2, 2, 1$ 。以 $1$ 这个特征值为例子，求它的左特征向量：
$yH(200110112)=yHy^H\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ \end{pmatrix}=y^H$
这就是解方程了：
$(y1y2y3)(200110112)=(y1y2y3)\begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix}\\$
其实这个方程可以改写为：
$(211011002)y=yy=(−110)\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}y=y\\ y=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
所以A的左特征向量其实就是 $A^H$ 的特征向量。所以求左特征向量的python代码也比较容易：

    # 特征向量def eigen_vector(self, eigen_value):n = len(self.__vectors)a = Matrix(Matrix.unit_matrix(n)) * eigen_valuereturn (self-a).non_homogeneous_solution([0] * n)[1:]# 左特征向量def left_eigen_vector(self, eigen_value):return self.transpose_matrix().eigen_vector(eigen_value)