作者丨yyHaker@知乎

来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/58883095

编辑丨极市平台

导读

本文总结了常见的八种损失函数的优缺点，包括：0-1损失函数、绝对值损失函数、 log对数损失函数、平方损失函数、指数损失函数、Hinge 损失函数、感知损失函数、交叉熵损失函数。

损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。

损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。

常见的损失函数以及其优缺点如下：

1. 0-1损失函数(zero-one loss)

0-1损失是指预测值和目标值不相等为1， 否则为0:

特点：

(1)0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用.

(2)感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足 时认为相等，

2. 绝对值损失函数

绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：

3. log对数损失函数

log对数损失函数的标准形式如下：

特点：

(1) log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。

(2)健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感。

(3)逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

4. 平方损失函数

平方损失函数标准形式如下：

特点：

(1)经常应用与回归问题

5. 指数损失函数（exponential loss）

指数损失函数的标准形式如下：

特点：

(1)对离群点、噪声非常敏感。经常用在AdaBoost算法中。

6. Hinge 损失函数

Hinge损失函数标准形式如下：

特点：

(1)hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为 。SVM就是使用这个损失函数。

(2)一般的 是预测值，在-1到1之间， 是目标值(-1或1)。其含义是， 的值在-1和+1之间就可以了，并不鼓励 ，即并不鼓励分类器过度自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励，从而使分类器可以更专注于整体的误差。

(3) 健壮性相对较高，对异常点、噪声不敏感，但它没太好的概率解释。

7. 感知损失(perceptron loss)函数

感知损失函数的标准形式如下：

特点：

(1)是Hinge损失函数的一个变种，Hinge loss对判定边界附近的点(正确端)惩罚力度很高。而perceptron loss只要样本的判定类别正确的话，它就满意，不管其判定边界的距离。它比Hinge loss简单，因为不是max-margin boundary，所以模型的泛化能力没 hinge loss强。

8. 交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)

交叉熵损失函数的标准形式如下：

注意公式中 表示样本， 表示实际的标签， 表示预测的输出， 表示样本总数量。

特点：

(1)本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。

二分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：

多分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：

(2)当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质。

最后奉献上交叉熵损失函数的实现代码：cross_entropy.

https://github.com/yyHaker/MachineLearning/blob/master/src/common_functions/loss_functions.py

这里需要更正一点，对数损失函数和交叉熵损失函数应该是等价的！（此处感谢@Areshyy（https://www.zhihu.com/people/he-yang-yang-27-6）的指正，下面说明也是由他提供）

下面来具体说明：

相关高频问题：

1.交叉熵函数与最大似然函数的联系和区别？

区别：交叉熵函数使用来描述模型预测值和真实值的差距大小，越大代表越不相近；似然函数的本质就是衡量在某个参数下，整体的估计和真实的情况一样的概率，越大代表越相近。

联系：交叉熵函数可以由最大似然函数在伯努利分布的条件下推导出来，或者说最小化交叉熵函数的本质就是对数似然函数的最大化。

怎么推导的呢？我们具体来看一下。

设一个随机变量 满足伯努利分布，

则 的概率密度函数为：

因为我们只有一组采样数据 ，我们可以统计得到 和 的值，但是 的概率是未知的，接下来我们就用极大似然估计的方法来估计这个 值。

对于采样数据 ，其对数似然函数为:

可以看到上式和交叉熵函数的形式几乎相同，极大似然估计就是要求这个式子的最大值。而由于上面函数的值总是小于0，一般像神经网络等对于损失函数会用最小化的方法进行优化，所以一般会在前面加一个负号，得到交叉熵函数（或交叉熵损失函数）：

这个式子揭示了交叉熵函数与极大似然估计的联系，最小化交叉熵函数的本质就是对数似然函数的最大化。

现在我们可以用求导得到极大值点的方法来求其极大似然估计，首先将对数似然函数对 进行求导，并令导数为0，得到

消去分母，得：

所以:

这就是伯努利分布下最大似然估计求出的概率 。

2. 在用sigmoid作为激活函数的时候，为什么要用交叉熵损失函数，而不用均方误差损失函数？

其实这个问题求个导，分析一下两个误差函数的参数更新过程就会发现原因了。

对于均方误差损失函数，常常定义为：

其中 是我们期望的输出， 为神经元的实际输出（ ）。在训练神经网络的时候我们使用梯度下降的方法来更新 和 ，因此需要计算代价函数对 和 的导数：

然后更新参数 和 ：

因为sigmoid的性质，导致 在 取大部分值时会很小（如下图标出来的两端，几乎接近于平坦），这样会使得 很小，导致参数 和 更新非常慢。

那么为什么交叉熵损失函数就会比较好了呢？同样的对于交叉熵损失函数，计算一下参数更新的梯度公式就会发现原因。交叉熵损失函数一般定义为：

其中 是我们期望的输出， 为神经元的实际输出（ ）。同样可以看看它的导数：

另外，

所以有：

所以参数更新公式为：

可以看到参数更新公式中没有 这一项，权重的更新受 影响，受到误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新快；当误差小的时候，权重更新慢。这是一个很好的性质。

所以当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数。