灵山网站建设/优化什么意思

1.概率与直观
（1）先看一个例子，统计数字的概率，给定某正整数N，统计从$1!$到$N!$的所有数中，首位数字出现1,2,3,4,5,6,7,8,9（9点分布）的频率，并画出曲线。
这里画出了n=100，1000
代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
# 求首位数
def first_digital(x):while x >= 10:# 整除用//，精确除法用/x = x // 10return x
def n_frequency(n):k = 1frequency = [0] * 10for i in range(1, n):k = k * im = first_digital(k)frequency[m] += 1return frequency
if __name__=="__main__":frequency1=n_frequency(100)frequency2=n_frequency(1000)ax1 = plt.subplot(121)ax2 = plt.subplot(122)ax1.plot(frequency1,'r--',linewidth=2)ax1.plot(frequency1,'go',markersize=8)ax1.set_xticks(range(0,10))ax1.grid(True)ax2.plot(frequency2, 'r--', linewidth=2)ax2.plot(frequency2, 'go', markersize=8)ax2.set_xticks(range(0, 10))ax2.grid(True)plt.show()

运行结果

  计算可以得到1出现的概率大概是30%，满足本福特定律，并不是我们直观想象的1/9。
  本福特定律简介：是指在日常生活中的一组数据（阶乘，素数数列，斐波那楔数列，住宅地址号码等）中，以1为首的数据大概占数组总数的三成，该规律可以用来经济数据反欺诈，投票数据反欺诈。
（2）这里再给出一个例子，商品推荐，假设在某推荐场景中，经计算A和B两个商品与当前访问用户的匹配度分别为0.8分和0.2分，系统将随机为A生成一个均匀分布于0到0.8的最终得分，为B生成一个均匀分布于0到0.2的最终得分，试计算最终B的分数大于A的分数的概率。
   解：A=B的直线上方区域，即为B>A的情况。
     $S_{蓝色}=0.02$ $S_{矩形}=0.16$ 则p=0.02/0.16=0.125

(3)概率公式
 条件概率：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ 则 $P(AB)=P(A|B)P(B)$
 全概率公式：$P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$
 贝叶斯公式：$P(B_i|A)=\frac{P(A{B}_i)}{P(A)}=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$

贝叶斯用法：
假定某系统中的若干样本x，计算该系统的参数，即
        $P(\theta |x)=\frac{P(x|\theta )P(\theta )}{{\sum }_{i=1}^{n}P(x|{\theta }_i)P({\theta }_i)}$
其中：
  $P(\theta )$为没有数据支持下，$\theta$发生的概率，即先验概率；
  $P(\theta |x)$为在数据支持下，$\theta$发生的概率，即后验概率；
  $P(x|\theta )$为似然函数，为给定某参数$\theta$的概率分布。
2.常见概率分布
(1)两点分布
  已经随机变量X的分布律为：
  $\begin{array}{ccl}X& \text{1}& \text{0}\\ p& p& 1-p\end{array}$
  则有$E(X)=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p.$
    $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=1^2\cdot p+0^2(1-p)-p^2=pq.$
(2)二项分布
  设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，设$X_i$表示第$i$次试验中事件A发生的次数，$i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n$
  则$X={\sum }_{i=1}^n{X}_i$，显然，$X_i$相互独立均服从参数为$p$的$0-1$分布，所以
  $E(X)={\sum }_{i=1}^{n}E(X_i)=np.$
  $D(X)={\sum }_{i=1}^{n}D(X_i)=np(1-p).$
(3)泊松分布
  设$X\sim \pi (\lambda )$，且分布律为
          $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$
  则 $E(X)={\sum }_{k=0}^{\infty }k\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=e^{-\lambda }{\sum }_{k=0}^{\infty }k\frac{{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}\cdot \lambda =\lambda e^{-\lambda }\cdot e^{\lambda }=\lambda$
  同理可以求得$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\lambda$
(4)均匀分布
  设$X\sim U(a,b)$的均匀分布，其概率密度为
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b,\\ 0,& 其他.\end{array}$$
  $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\int }_a^{b}x\frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{2}(a+b)$
  $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2={\int }_a^b{x}^2\frac{1}{b-a}dx-(\frac{1}{a+b}{)}^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
(5)指数分布
  设随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta },& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}其中\theta >0.$$
  则有$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\int }_0^{+\infty }x\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{x}{\theta }}dx=-x{e}^{-\frac{x}{\theta }}{|}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\frac{x}{\theta }}dx=\theta$
  $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2={\int }_0^{+\infty }{x}^2\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{x}{\theta }}dx-{\theta }^2=2{\theta }^2-{\theta }^2={\theta }^2$
指数分布常用来表示独立随机事件发生的间隔，比如旅客进机场的时间间隔，软件更新的时间间隔，许多电子产品的寿命服从指数分布。指数分布具有无记忆性。
(6)正态分布
  设随机变量$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$,其概率密度函数为
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}，其中\sigma >0,-\infty <x<\infty$$
  $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}dx.$
  令$t=\frac{x-\mu }{\sigma }\Rightarrow x=\mu +\sigma t$
  $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }(\mu +\sigma t)e^{-t^2}dt=\frac{\mu }{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-t^2}dt+\frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }t{e}^{-t^2}dt=\mu$
  进行变量替换，同理可得$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2={\sigma }^2$
常见分布和期望值如下图所示：

(7)Beta分布（概率的分布）
  概率密度函数为
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1},& x\in [0,1],\\ 0,其他.& \end{array}$$
  其中系数B为：
$$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx=\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta }{\Gamma (\alpha +\beta )}$$
  $E(X)={\int }_0^{1}x\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{\int }_0^1{x}^{(\alpha +1)-1}(1-x{)}^{\beta -1}=\frac{B(\alpha +1,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}=\frac{\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}/\frac{\Gamma (\alpha +\beta +1)}{\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta )}=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$
(8)指数族分布

   （i）Bernoulli分布属于指数族分布

    （ii）Guassion分布也是指数族分布


3.Sigmoid/Logistic函数的引入
  在推导过程中，出现了Logistic方程
  $$\Theta =\frac{1}{1+e^{-\eta }}$$
  可以写成
$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
  函数图像如下图所示

  求导数
  $f^{\prime }(x)=(\frac{1}{1+e^{-x}}{)}^{\prime }=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}=\frac{1}{1+e^{-x}}\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+e^{-x}}(1-\frac{1}{1+e^{-x}})=f(x)\cdot (1-f(x))$
4.事件独立性
  给定两个事件A和B，若有$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$则A和B独立。
5.期望
   期望的意义：概率加权下的平均值
   离散型$E(X)={\sum }_i^n{x}_i{p}_i$
   连续型$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$
   期望的性质
    无条件成立：（1）$E(kX)=kE(X)$ (2)$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
    独立下成立：$E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$
6.大数定律和中心极限定理
   （1）大数定律
   （2）中心极限定理
      设随机变量$X_1,X_2\dots X_n\dots$互相独立，服从同一分布，并且具有相同的
    期望$\mu$和方差${\sigma }^2$，则随机变量
$$Y_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$$
    的分布收敛到标准正态分布，容易得到${\sum }_{i=1}^n{X}_i$收敛到正态分布$\mathrm{N}\left(\mathrm{n}\mu ,\mathrm{n}{\sigma }^2\right)$。
7.贝叶斯公式带来的思考:
   贝叶斯公式：$P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$
   给定某些样本D，在这些样本中计算某结论$A_1,$$A_2\dots A_n$出现的概率，即$\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_{\mathrm{i}}|\mathrm{D}\right)$。
$$\begin{array}{c}\max P\left(A_i|D\right)=\max \frac{P\left(D|A_i\right)P\left(A_i\right)}{P(D)}=\max \left(P\left(D|A_i\right)P\left(A_i\right)\right)-P\left(A_i\right)\sec t+\Delta \max P\left(D|A_i\right)\\ \Rightarrow \max P\left(A_i|D\right)\to \max P\left(D|A_i\right)\end{array}$$