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一、B+树

1.B+树定义与特性

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

其定义基本与B-树同，除了:

1).非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

2).非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；

3).为所有叶子结点增加一个链指针；

4).所有关键字都在叶子结点出现

为了全面 这里给出网上另外一种说法：

一棵m阶的B+树和m阶的B树的差异在于：

      1.有n棵子树的结点中含有n个关键字； (而B 树是n棵子树有n-1个关键字)

      2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

      3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

下图给出典型的3阶B+树示例

 

B+的特性：

1).所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

2).不可能在非叶子结点命中；

3).非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

4).更适合文件索引系统；

 

2.B+树的基本操作

1)查找操作

     对B+树可以进行两种查找运算：

　　a.从最小关键字起顺序查找；

　　b.从根结点开始，进行随机查找。

　　在查找时，若非终端结点上的剧组机等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。其余同B-树的查找类似。

2).插入操作

      B+树的插入与B树的插入过程类似。不同的是B+树在叶结点上进行，如果叶结点中的关键码个数超过m，就必须分裂成关键码数目大致相同的两个结点，并保证上层结点中有这两个结点的最大关键码。(算法见百度百科)

3)删除操作

      B+树的删除也仅在叶子结点进行，当叶子结点中的最大关键字被删除时，其在非终端结点中的值可以作为一个“分界关键字”存在。若因删除而使结点中关键字的个数少于m/2 （m/2结果取上界，如5/2结果为3）时，其和兄弟结点的合并过程亦和B-树类似。

 

PS:

a.不同于B+树只适合随机检索，B+树同时支持随机检索和顺序检索，在实际中应用比较多.

b.为什么说B+树比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

1) B+树的磁盘读写代价更低

     B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

    举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+树内部结点只需要1个盘快(全部关键字都在叶结点的缘故？)。当需要把内部结点读入内存中的时候，B-树就比B+树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)(B+树的内结点只有索引的作用，何来“把内部结点读入内存”...,对于B+树找到叶结点就可以，另外B+树可以顺序查找)。

2) B+树的查询效率更加稳定

     由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

c.B+树和B-树最大的不同点是：

1).B-树的关键字和记录是放在一起的，叶子节点可以看作外部节点，不包含任何信息；B+树的非叶子节点中只有关键字和指向下一个节点的索引，记录只放在叶子节点中。

2).在B-树中，越靠近根节点的记录查找时间越快，只要找到关键字即可确定记录的存在；而B+树中每个记录的查找时间基本是一样的，都需要从根节点走到叶子节点，而且在叶子节点中还要再比较关键字。从这个角度看B-树的性能好像要比B+树好，而在实际应用中却是B+树的性能要好些。因为B+树的非叶子节点不存放实际的数据，这样每个节点可容纳的元素个数比B-树多，树高比B-树小，这样带来的好处是减少磁盘访问次数。尽管B+树找到一个记录所需的比较次数要比B-树多，但是一次磁盘访问的时间相当于成百上千次内存比较的时间，因此实际中B+树的性能可能还会好些，而且B+树的叶子节点使用指针连接在一起，方便顺序遍历(例如查看一个目录下的所有文件，一个表中的所有记录等)，这也是很多数据库和文件系统使用B+树的缘故。

 

二、B*树(这个网上介绍的甚少，教科书我也没有找到细致的介绍)

B*Tree是B+树的变体，在B+Tree的非根和非叶子结点(内结点)再增加指向兄弟的指针

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。