【题目】

题目描述：

Alice 和 Bob 两个人正在玩一个游戏，游戏有很多种任务，难度为 $p$ 的任务（$p$ 是正整数），有 $\frac{1}{2^p}$ 的概率完成并得到 $2^{p-1}$ 分，如果完成不了，得 $0$ 分。一开始每人都是 $0$ 分，从 Alice 开始轮流做任务，她可以选择任意一个任务来做；而 Bob 只会做难度为 $1$ 的任务。只要其中有一个人达到 $n$ 分，即算作那个人胜利。求 Alice 采取最优策略的情况下获胜的概率。

输入格式：

一个正整数 $n$ ，含义如题目所述。

输出格式：

一个数，表示 Alice 获胜的概率，保留 $6$ 位小数。

样例数据：

输入
1

输出
0.666667

备注：

【数据范围】
对于 $30\%$ 的数据，$n$ ≤ $10$
对于 $100\%$ 的数据，$n$ ≤ $500$

【分析】

概率 $dp$ 入门题

定义 $f_{i,j}$ 表示 Alice 得了 $i$ 分，Bob 得了 $j$ 分后 Alice 获胜的概率

那么初始化 $f_{n,i}=1$（$0$ ≤ $i$ ≤ $n$），最后的答案 $ans$ 会在 $f_{0,0}$ 中

现在就考虑如何通过后面的概率来转移 $f_{i,j}$

我们枚举 Alice 下一步的得分（由于 Bob 只有 $0$ 和 $1$ 两种分值，不用枚举）

如果下一步的任务难度为 $p$，令 $k=2^{p-1}$，那么拿到这 $k$ 分的概率就是 $\frac{1}{2^p}$（即 $\frac{1}{2\cdot k}$），不得分的概率是 $\frac{2\cdot k-1}{2\cdot k}$

那么转移方程就是：$f_{i,j}=\frac{f_{i+k,j}}{4k}+\frac{f_{i+k,j+1}}{4k}+\frac{f_{i,j}\cdot (2k-1)}{4k}+\frac{f_{i,j+1}\cdot (2k-1)}{4k}$

把右边的 $f_{i,j}$ 移到左边来的话，就是 $f_{i,j}=\frac{(f_{i+k,j})+(f_{i+k,j+1})+(f_{i,j+1}\cdot (2k-1))}{2k+1}$

应该还是比较好懂的吧

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 505
using namespace std;
double f[N][N];
int main()
{int n,i,j,k;scanf("%d",&n);for(i=0;i<=n;++i)f[n][i]=1;for(i=n-1;i>=0;--i)for(j=n-1;j>=0;--j)for(k=1;k/2<=n;k<<=1){int next=min(i+k,n);f[i][j]=max(f[i][j],(f[next][j]+f[next][j+1]+f[i][j+1]*(2*k-1))/(2.0*k+1.0));}printf("%.6lf",f[0][0]);return 0;
}