外贸led网站建设/google下载安装

  台大《机器学习基石》课程Week4-7讲的主要是机器学习算法为什么可行。看的稀里糊涂的，结合相关资料，做个总结，梳理下思路~
  ML的框架如下:

1 符号表示

$f:X \to Y$:$X$表示输入空间，可以理解为样本特征；$Y$表示输出空间，在二分类模型中可以理解为目标变量；$f$为未知真理Or规律。即在李航《统计学习方法》中所说的”统计学习关于数据的基本假设是同类数据具有一定的统计规律性”。现在唯一知道的是$f$在$D$中的表现情况，而目标则是希望演算法$A$找到找到一个与$f$类似的函数，称之为$g$，使得$g$在训练数据$D$上的表现与$f$接近，并且能够在$D$之外的未知数据上表现依旧出色。
$D:(x_1,y_1,...,(x_N,y_N))$为训练集。
$H$:hypothesis set，一个有限or无限的方程or函数的集合。演算法$A$从$H$中挑选方程。
$A$:学习算法，在$H$中找到一个与$f$最接近的一个方程。
$g$:final hypothesis $A$在$H$中挑选的最好的方程。

2 Feasibility of Learning

2.1 机器学习是否可行

  考虑一个简单的二分类问题。$X=\{0,1\}^3$,$Y=\{o,x\}^1$。如下图所示，我们可以找到一个$g$，在训练集上，其与$f$的表现相同。但是在训练集$D$之外的表现，我们无法保证。这一特性称之为”No Free Lunch”。那么机器学习可行吗？

2.2 统计学上的一个例子

  统计学中我们可以使用样本均值推断总体均值，且样本均值统计量具有良好的性质:其抽样分布趋于期望为总体均值，方差为总体方差的$1/n$的正态分布。看下面的问题。

如上图所示:
  $bin$:一个装满橙色和绿色小球的罐子
  $\mu$:罐子中orange小球的占比
  $1-\mu$:罐子中green小球的占比
  $sample$:从罐子中随机抽样一次
  $N$:抽样大小，即抽出的小球数
$\nu$:样本中orange小球的占比
  $1-\nu$:样本中green小球的占比
  那么$\nu$可以代替或者某种程度衡量$\mu$吗？概率论中的Hoeffding不等式可以解决这一问题。

$$P\left[ {\left| {\nu - \mu } \right| > \varepsilon } \right] \le 2\exp \left( { - 2{\varepsilon ^2}N} \right)$$
其中： $\varepsilon$为容忍度，当 $\mu$和 $\nu$差别小于容忍度时，称 $\mu$和 $\nu$差不多(‘PAC’,probably approximately correct)。当 $\mu$和 $\nu$差别大于容忍度时，称 $\mu$和 $\nu$差很多。差很多这件事发生的越小越好，最大不超过不等式右边。相同的 $\varepsilon$时，如果N足够大，那么我们可以有较大的概率说 $\mu$和 $\nu$差不多。

2.3 类比Learning

  类比与机器学习问题，罐子相当于数据总体，对于某一个固定的$h$，可按照如下方式标记:

1 . 如果$h\left( {{x_n}} \right) \ne f\left( {{x_n}} \right)$，即判断不一致，标记第n个小球为orange
2 . 如果$h\left( {{x_n}} \right) = f\left( {{x_n}} \right)$，即判断一致，标记第n个小球为green
  按照之前sample小球的方式，我们可以利用sample中orange的占比估计总体中orange的占比。即可以推断$h$在未知数据集上的表现。记$h\left( {{x_n}} \right) \ne f\left( {{x_n}} \right)$为error。记sample中出现orange(即训练集$D$中出现error)的比例为$E_{in}$，在总体中出现error的比例为$E_{out}$。那么对于某一个固定$h$:
* $E_{out}(h)=\mathop \varepsilon \limits_{x \sim P} \left[ {h\left( x \right) \ne f\left( x \right)} \right]$,其中$\varepsilon$为数学期望
* $E_{in}(h)=\frac{1}{N}\sum\nolimits_{n = 1}^N {\left[ {h\left( x \right) \ne f\left( x \right)} \right]}$

  由Hoeffding不等式:

$$P\left[ {\left| {E_{in}(h) - E_{out} } \right| > \varepsilon } \right] \le 2\exp \left( { - 2{\varepsilon ^2}N} \right)$$
  当不等号右边这个上界足够小，可以说 $h$在sample和总体中表现差不多(不等式的本来含义是差很多的概率很小，反之)。此时我们只能说$E_{in}(h)\approx E_{out}$，并不能认为 $h$是一个好的learning，因为$E_{in}$可能很大。因此需要添加一个验证流程。如下图所示:

  其中我们需要独立同分布与总体的验证数据，把 $h$当做$g$，验证 $h$的真实性能。(这里有个疑问，验证数据集和训练集的符号都是$D$，前面讲的 $h$貌似和$D$无关，所以训练集和验证集是一个意思吗？看成一样，完了后面的Bad Sample才更好解释点)

2.4 Bad Sample & Bad Data

  抛一个正常的硬币50次，如果出现正面40次，反面10次。则$\nu=0.8$，与$\mu=0.5$相差很大。此时采用这次sample的样本均值显然不合理。因此这一次sample，就是一个bad sample。(凡是由于抽样误差所造成样本分布与总体分布相差很大样本，都称之为bad sample。参考[1])

  learning也会遇到这样的问题，比如$h1$是一个很好的方程，但是sample的都是orange ball,那么演算法$A$不会选择；反之，$h2$是一个不好的方程，但是sample的都是green ball，此时由于$E_in$很小，演算法可能会选择$h2$作为$g$。对于任意$h$，bad sample会造成$|{E_{in}(h) - E_{out} }|>\varepsilon$,对应sample的样本称之为bad data。

  故而为了演算法$A$可以自由的挑选方程($h$)，我们希望所有的hypothesis都不会遇到Bad Sample。回到最原始的Hoeffding不等式:

$$P\left[ {\left| {E_{in}(h) - E_{out} } \right| > \varepsilon } \right] \le 2\exp \left( { - 2{\varepsilon ^2}N} \right)$$
  我们可以说 $P\left[ {Bad\;D\;for\;h} \right] \le 2\exp(- 2{\varepsilon ^2}N)$,即hoeffding不等式对某一个固定 $h$，可以使得其在任意一个sample上出现bad data的概率很小。那么对于所有hypothesis而言，出现Bad Data的概率呢。先看一个直观的例子，150个人抛硬币，每个人抛5次，至少出现有一个人连续5次硬币都朝上的概率为$1 - {\left( {\frac{{31}}{{32}}} \right)^{150}} > 99\%$。把150个人看做hypothesis，抛掷行为相当于sample，则对于整个hypothesis set出现bad sample Or bad data的概率很大。演算法可以自由的选择 $h$，则希望大部分的sample对所有的hypothesis都不是bad sample。那么出现bad sample的概率为:
$$\begin{array}{l} {P_D}\left[ {Bad\;D} \right]\\= {P_D}\left[ {Bad\;D\;for\;{h_1}\;or\;Bad\;D\;for\;{h_2}\;or\; \ldots or\;Bad\;D\;for\;{h_M}} \right]\\\le {P_D}\left[ {Bad\;D\;for\;{h_1}\;} \right] + \ldots + {P_D}\left[ {Bad\;D\;for\;{h_M}} \right]\\\le 2\exp \left( { - 2{\varepsilon ^2}N} \right) + \ldots + 2\exp \left( { - 2{\varepsilon ^2}N} \right)\\= 2M\exp \left( { - 2{\varepsilon ^2}N} \right) \end{array}$$

  由此，hypothesis set的大小对learning的有关。M有限，数据量越大，出现bad sample的概率越小。这样就可以保证 $D$对所有的$h$都有 ${E_{in}} \approx {E_{out}}$，满足PAC，演算法可以自由选择。如果可以选择到 $E_in$很小的 $h$，那么能保证$E_out$也很小，说明有不错的泛化能力。

3 Summary

  本文的主要内容是Learning是否能够可行。如果M有限，N足够大，一般而言演算法可以找到一个$g$，使得$E_out$很小，从而learning可行。但是M是否有限？演算法是否一定可以找到g<script type="math/tex" id="MathJax-Element-101">g</script>，且听下回分解！

4 Ref

[1] http://beader.me/mlnotebook/section2/is-learning-feasible.html
[2] http://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/71082934
                                           2018-01-20 于杭州