本文主要是记录，方便日后遇到相同题的归纳。（主要思路均来自下面两篇参考文章的提示）

这两题，主要考察的是前缀和，也是包含了动态规划思想。

题目要求的是：求数组[i, j]范围内的值，且会不断的调用求区域和方法，所以每次调用就计算[i, j]的和，时间复杂度太大

所以，能想到的是，提前维护一个数组，该数组能够计算出[i,j]的区域和，但是由于给出的i、j范围不定，所以不可能提前想好所有可能

所以，有没有间接的计算区域和的方法，使之满足O(1)的时间复杂度

观察发现**[i, j] = [0 , j] - [0, i - 1]**，所以我们可以维护一个数组，该数组计算[0, k]的和，那么求区域和只需要带入该公式即可：

class NumArray {int len;        // 求数组的长度int[] arr;int[] preSum;		// 辅助数组，长度 + 1（0之前的前缀和也需要计算，统一边界条件）public NumArray(int[] nums) {				// 初始化len = nums.length;arr = nums;preSum = new int[len + 1];  // 求前缀和的数组preSum[0] = 0;for(int i = 0; i < len; i++){preSum[i + 1] = preSum[i] + arr[i];}}public int sumRange(int i, int j) {return preSum[j + 1] - preSum[i];}
}

——本质就是能够想到前缀和

和上面的一样，只不过将一维变成二维的。

也还是需要求前缀和，那么此时的前缀和是指从[0,0]~[i, j]范围内的所有数字之和，而前缀和的计算公式变成了：

S[i, j] = S[i, j - 1] + S[i - 1, j] - S[i - 1, j - 1] + [i, j]的值（纸上画图即可）

而[i, j - 1]、[i - 1, j]、[i - 1, j - 1]都是之前计算好的，可以直接使用，注意为了处理边界情况，所以辅助数组helper 行和列各+1。

——那么在初始化的时候，就可以直接计算出前缀和的值。

——其实，这个也是一个递推方程式，所以本质上是动态规划

那边区域和该如何求呢？

S[i1, j1, i2, j2] = S[i2, j2] - S[i2, j2 - 1] - S[i2 - 1, j2] + S[i1 - 1, j1 - 1]

class NumMatrix {int[][] matrix;int[][] help;public NumMatrix(int[][] matrix) {if(matrix.length != 0){			// 传入空数组，就不管直接放弃初始化this.matrix = matrix;help = new int[matrix.length + 1][matrix[0].length + 1];for(int i = 1; i <= matrix.length; i++){for(int j = 1; j <= matrix[0].length; j++){help[i][j] = help[i - 1][j] + help[i][j - 1] - help[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];}}}}public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {return help[row2 + 1][col2 + 1] - help[row2 + 1][col1] - help[row1][col2 + 1] + help[row1][col1];}
}/*** Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:* NumMatrix obj = new NumMatrix(matrix);* int param_1 = obj.sumRegion(row1,col1,row2,col2);*/

参考：

1. https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-immutable/solution/presum-qian-zhui-he-xiang-xi-jiang-jie-b-nh23/
2. https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-2d-immutable/solution/ru-he-qiu-er-wei-de-qian-zhui-he-yi-ji-y-6c21/