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数据结构之真别多想—树状数组

瓶颈

如何理解树状数组？

这个结构的思想和线段树有些类似：用一个大节点表示一些小节点的信息，进行查询的时候只需要查询一些大节点而不是更多的小节点。
最下面的八个方块就代表存入 a 中的八个数，现在都是十进制。
他们上面的参差不齐的剩下的方块就代表 a 的上级—— c 数组。
很显然看出： c2 管理的是 a1 & a2 ； c4 管理的是 a1 & a2 & a3 & a4 ； c6 管理的是 a5 & a6 ；c8 则管理全部 8 个数。
所以，如果你要算区间和的话，比如说要算 a51 ~ a91 的区间和，暴力算当然可以，那上百万的数，那就 TLE 喽。
——————摘自http://oi-wiki.org

初看这些文字，你可能会想：

“啊这这这？？？你讲这些我们怎么听得懂啊，这树状数组是啥，咋用，我们还是懵的啊”

当然，为了解决问题而书写算法的话，我们不需要去理解这个结构的原理到底是啥，我们只需要知道这个东西

用在哪？

怎么用？

就足够了

用在哪？

我们都知道：

一般的普通数组单点操作的时间复杂度的O(1)、区间操作的时间复杂度是O(n)。

而我们树状数组的和普通数组的区别就在于：

单点操作和区间操作的时间复杂度都是O(log n)，而且

单点修改和区间操作（加、求和）都需要用函数实现。

那么这么说我们大概能理解一点了，那就是：

一旦遇到大规模使用区间求和的问题，我们就可以考虑使用树状数组。

怎么用？

总得来说就是三个函数：lowbit、添加函数，求和函数

lowbit

int 

单点修改

void 

区间求和

int 

就这？？就这？？

啊啊，看似就这，那我们来找一道模板题做一做，深化一下理解吧。

例题：Acwing 788 逆序对的数量

题面

给定一个长度为n的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i < j 且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入

第一行包含整数n，表示数列的长度。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出

输出一个整数，表示逆序对的个数。

PS： 1≤n≤1000001≤n≤100000

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

解题过程

“逆序对”的计算需要用到大量的区间运算，在这个时候我们的树状数组就发挥了很大的用处了，

对于这道题的核心思想，即是：

用数组的值作为下标，每次出现逆序对则给该下标对应值加一，最后求和

代码如下

#include 

emmm，样例过了，提交！

诶怎么wa了，还是段错误？

看了看测试数据，原来是我们将数据当作下标，而数据的大小超过了数组大小的限制，而且也造成了空间的冗余，这个时候，我们想到一个方法：

离散化

离散化，即是将对象之间的关系模糊化，在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。

什么意思呢？

比如说：

在｛ 1、 2、 99999、 3 ｝之间判断逆序对和在｛ 1、 2、 4、 3｝之间判断逆序对在基本流程上无差别，而如果不进行离散化，则花费了99999个空间，为了节省空间，也为了消除数组越界的风险，我们使用离散化优化一下代码。

#include 

最后，我们得到了AC！！！

希望我的抛砖引玉能引起更多的思考！ （蒟蒻鞠躬）。