初步理解

树状数组：从名称上来看就是用数组来模拟树形结构
下面我给出一棵树状数组来理解理解：

通过观察我们可以发现每一列的顶端结点为树状数组的元素（列上满足一一对应）；
如下：

在储存数据方面：
c[1]=a[1];
c[2]=a[1]+a[2];
c[3]=a[3];
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
c[5]=a[5];
c[6]=a[5]+a[6];
c[7]=a[7];
c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];
（仔细观察哦下面无数次提到观察这组数据）
我们找到了什么规律呢？
把1~8转化为二进制时通过观察可以发现：
从右到左（从小到大）找第一次出现的‘1’所代表的的整数刚好和c中储存的个数相同
那么储存的数据怎么确定呢？我们再观察一下上面的规律，可以发现储存a[ ]中的数据的最后一个刚好和c[i]中的i值相等
所以第一步，我们先来介绍
如何确定c[ ]中储存数据的个数~

lowbit

int lowbit(int x){return x & -x;
}

函数里只有简单的一行代码
这个记住可以这样操作就好啦，具体推呢要考虑数字逻辑里原码补码什么什么的有点麻烦就不在这里推啦。（如果真的想知道原理就去查查叭）
它是基础噢
有了lowbit的基础后接下来我们正式学习如何构造树状数组：
我们再一次观察上面的数据可以发现实际上构造它就是在不停的更新它

单点更新/构造树状数组

void update(int x,int val){//单点更新 while(x<=n){c[x]+=val;x+=lowbit(x);}
}//从小到大 

若不理解我们可以通过举例来模拟辅助我们更好的弄清楚它
举例：假设数组里有8个数，均为1，那么它的更新操作为

区间查询（区间求和）

前置知识：前缀和（cz大佬所讲内容）
我们再次观察上面的数据找找规律：

求区间[1,x]的和：

int sum(int x){//求前缀和  区间[1,x] int sum=0;while(x>0){sum+=c[x];x-=lowbit(x);}return sum;
}//从大到小 

然后看例题~
传送门

输入输出样例
输入
5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4
输出
14
16

下面是代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6const int ma=5e5+10;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
int a[ma],b[ma*2];
int n,m;
int lowbit(int x){return x & -x;
}
void update(int x,int val){//单点更新 while(x<=n){b[x]+=val;x+=lowbit(x);}
}//从小到大 
int sum(int x){//求前缀和  区间[1,x] int sum=0;while(x>0){sum+=b[x];x-=lowbit(x);}return sum;
}//从大到小 
int main()
{int x,y,z;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",a+i);update(i,a[i]);}while(m--){scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);if(z==1)update(x,y);if(z==2){int ans=sum(y)-sum(x-1);printf("%d\n",ans);}}return 0;
}

敌兵布阵
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.
Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令
Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。
Sample Input
1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End
Sample Output
Case 1:
6
33
59
注意：多组输入时先输入的是字符串，然后判断字符串是否为End若不为才输入ij数据！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int nn=50050;
int lowbit(int x){return x & -x;
}
int n;int a[nn];char c[10];
void update(int x,int y){while(x<=n){a[x]+=y;x+=lowbit(x);}
}
int query(int s){int sum=0;while(s>0){sum+=a[s];s-=lowbit(s);}return sum;
}
int main() {int t,q,x,y;scanf("%d",&t);for(int z=1;z<=t;z++){memset(a,0,sizeof(a));scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&q);update(i,q);}printf("Case %d:\n",z);while(~scanf("%s",c)){if(c[0]=='E') break;scanf("%d%d",&x,&y);if(c[0]=='A'){update(x,y);}else if(c[0]=='S'){update(x,-y);}else if(c[0]=='Q'){int ans=query(y)-query(x-1);printf("%d\n",ans);}}}return 0;
}

例二：差分运用
传送门

输入输出样例
输入
5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4
输出
6
10

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6const int ma=5e5+10;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
ll a[ma];
ll n,m;
ll lowbit(ll x){return x & -x;
}
void update(ll x,ll val){//单点更新 while(x<=n){a[x]+=val;x+=lowbit(x);}
}//从小到大 
ll sum(int x){//求前缀和  区间[1,x] ll sum=0;while(x>0){sum+=a[x];x-=lowbit(x);}return sum;
}//从大到小 
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);ll b,bb=0;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&b);update(i,b-bb);//更新差分数组 bb=b;}int x,y,k,num;while(m--){scanf("%d",&num);if(num==1){scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);//区间修改 ，运用单点更新的操作 update(x,k); //将a[x]加上k update(y+1,-k);//a[y+1]减去k }	else{scanf("%lld",&x);printf("%lld\n",sum(x));}}return 0;
}