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P1063 能量项链

题目描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标 记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后 一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的 正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：

输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入样例#1：

4
2 3 5 10

输出样例#1：

710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

 

【题解】

DP裸题。

【状态】

  dp[i][j]表示区间[i,j]的最大能量

【转移方程】

 转移：dp[i][j] = max{dp[i][k] + dp[k + 1][j] + value[i] * value[k + 1] * value[j + 1]}

【初始状态】

全部为0

【答案】

ans = max{dp[i][i + n - 1]};

 

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>

const int MAXN = 100 + 10;

inline void read(int &x)
{
    x = 0;char ch = getchar();char c = ch;
    while(ch < '0' || ch > '9')c = ch, ch = getchar();
    while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    if(c == '-')x = -x;
}
inline int max(int a, int b){return a > b ? a : b;}

int n,value[MAXN << 1];
int dp[MAXN << 1][MAXN << 1],ans;

int main()
{
    read(n);
    for(int i = 1;i <= n;++ i)
        read(value[i]), value[i + n] = value[i];
    value[n + n + 1] = value[1];
    n <<= 1;
    //dp[i][j]表示区间[i,j]的最大能量
    //转移：dp[i][j] = max{dp[i][k] + dp[k + 1][j] + value[i] * value[k + 1] * value[j + 1]} 
    
    //k表示区间长度，i表示区间左端点，p表示切割点（切割处为切割点右边） 
    for(int k = 1;k < n;++ k)
    {
        for(int i = 1;i <= n - k;++ i)
        {
            int j = i + k;
            for(int p = i;p < j;++ p)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][p] + dp[p + 1][j] + value[i] * value[p + 1] * value[j + 1]);
        }
    }
    n >>= 1;
    for(int i = 1;i <= n;++ i)
        ans = max(ans, dp[i][i + n - 1]);
    printf("%d", ans);
    return 0;
}